C++深入探寻二叉搜索树：数据管理的智慧之选
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所属专栏：C++：由浅入深篇
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前言：
我们在前面已经学习过有关二叉树的相关知识，今天我们要学习的搜索二叉树和前面我们学习的普通树结构有什么区别呢，我们来一起看看为啥称搜索二叉树是数据管理的智慧之选吧。这里要介绍的是普通的二叉搜索树，像AVL树，红黑树这种特殊的二叉搜索树，我们单独放在一篇博客说明。
一.二叉搜索树的概念
二叉搜索树又称二叉排序树，它或者是一棵空树，或者是具有以下性质的二叉树:
- 若它的左子树不为空，则左子树上所有结点的值都小于等于根结点的值
- 若它的右子树不为空，则右子树上所有结点的值都大于等于根结点的值
- 它的左右子树也分别为二叉搜索树
示例：以下就是两棵二叉搜索树
注意：
二叉搜索树中可以支持插入相等的值，也可以不支持插入相等的值，具体看使用场景定义，后续我们学习map/set/multimap/multiset系列容器底层就是二叉搜索树，其中map/set不支持插入相等值，multimap/multiset支持插入相等值。
二.二叉搜索树的常见操作
2.1插入操作
插入的具体过程如下：
1. 树为空，则直接新增结点，赋值给root指针
2. 树不为空，按二叉搜索树性质，插入值比当前结点大往右走，插入值比当前结点小往左走，找到空位置，插入新结点。
3. 如果支持插入相等的值，插入值跟当前结点相等的值可以往右走，也可以往左走，找到空位置，插入新结点。（要注意的是要保持逻辑⼀致性，插⼊相等的值不要一会往右走，一会往左走）
上面的插入过程就保证了在完成插入操作后，这棵树仍然满足搜索二叉树的特点。
bool Insert(const K& key)
{
//如果树为空,直接新增节点，赋值给_root
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(key);
return true;
}
//如果树不为空
Node* parent = nullptr;//parent的存在就是为了插入的，我们要插入在parent的左孩子或者右孩子
Node* cur = _root;
//找到空位置，插入节点
while (cur)
{
//插入值比当前节点小，往左走
if (key < cur->_key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else if (key > cur->_key)//插入值比当前节点大，往右走
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else
{
return false;//我们不支持插入相同的值
}
}
//找到了，cur就是当前要插入的位置
cur = new Node(key);
//判断是插入到parent的左边还是右边
if (key < parent->_key)
{
//往左走
parent->_left = cur;
}
else
{
//往右走
parent->_right = cur;
}
return true;
}2.2查找操作
查找的具体过程如下：
1. 从根开始比较，查找x，x比根的值大则往右边走查找，x比根值小则往左边走查找。
2. 最多查找高度次，走到到空，还没找到，这个值不存在。
3. 如果不支持插入相等的值，找到x即可返回。
4. 如果支持插入相等的值，意味着有多个x存在，一般要求查找中序的第一个x。如下图，查找3，要找到1的右孩子的那个3返回。
通过上面的查找过程可以发现，我们查找一个元素，最多只需查找高度次就能得到结果，在一定条件下这个查找效率还是蛮不错的，但是当树严重不平衡时，查找效率就变得非常低。
我们来举个例子，如果搜索二叉树的插入顺序不当，可能会导致树变得严重不平衡，退化成链表结构。在这种情况下，查找操作的时间复杂O(N).
//实现的是不允许有相同值的搜索二叉树
bool Find(const K& key)
{
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (key < cur->_key)
{
//小于，往左走
cur = cur->_left;
}
else if (key > cur->_key)
{
//大于，往右走
cur = cur->_right;
}
else//=
{
return true;//找到了
}
}
return false;//没找到
}2.3删除操作
首先查找元素是否在二叉搜索树中，如果不存在，则返回false。
如果查找元素存在则分以下四种情况分别处理：（假设要删除的结点为N）
1. 要删除结点N左右孩子均为空
2. 要删除的结点N左孩子为空，右孩子结点不为空
3. 要删除的结点N右孩子为空，左孩子结点不为空
4. 要删除的结点N左右孩子结点均不为空
对应以上四种情况的解决方案：
1. 把N结点的父亲对应孩子指针指向空，直接删除N结点（情况1可以当成2或者3处理，效果是一样的）
2. 把N结点的父亲对应孩子指针指向N的右孩子，直接删除N结点
3. 把N结点的父亲对应孩子指针指向N的左孩子，直接删除N结点
4. 无法直接删除N结点，因为N的两个孩子无处安放，只能用替换法删除。
找N左子树的值最大结点R(最右结点)或者N右子树的值最小结点R(最左结点)替代N，因为这两个结点中任意一个，放到N的位置，都满足二叉搜索树的规则。替代N的意思就是N和R的两个结点的值交换，转而变成删除R结点，R结点符合情况2或情况3，可以直接删除。
bool Erase(const K& key)
{
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (key < cur->_key)
{
//小于，往左走
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else if (key > cur->_key)
{
//大于，往右走
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else//找到了
{
//删除
//左为空
if (cur->_left == nullptr)
{
//根节点要特殊考虑，根节点没有父亲
if (cur == _root)
{
_root = cur->_right;
}
else
{
if (parent->_left == cur)//要删除节点是parent的左孩子
{
parent->_left = cur->_right;//父亲对应孩子指针指向N的右孩子（左为空）
}
else//要删除节点是parent的右孩子
{
parent->_right = cur->_right;//父亲对应孩子指针指向N的右孩子（左为空）
}
}
delete cur;//直接删除
}
else if (cur->_right == nullptr)//右为空
{
//根节点要特殊考虑，根节点没有父亲
if (cur == _root)
{
_root = cur->_left;
}
else
{
if (parent->_left == cur)//要删除节点是parent的左孩子
{
parent->_left = cur->_left;//父亲对应孩子指针指向N的左孩子（右为空）
}
else//要删除节点是parent的右孩子
{
parent->_right = cur->_left;//父亲对应孩子指针指向N的左孩子（右为空）
}
}
delete cur;//直接删除
}
else
{
//左右都不为空，采用替换法
//以找右子树最左节点为例
Node* replaceparent = cur;
Node* replace = cur->_right;
while (replace->_left)//左为空
{
replaceparent = replace;
replace = replace->_left;
}
//交换值
cur->_key = replace->_key;
//删除replace节点
if (replaceparent->_left == replace)//要删除节点是replaceparent的左孩子
{
replaceparent->_left = replace->_right;// 父亲对应孩子指针指向N的右孩子（左为空）
}
else
{
replaceparent->_right = replace->_right;// 父亲对应孩子指针指向N的右孩子（左为空）
}
delete replace;
}
return true;
}
}
return false;
}2.4二叉树搜索树实现代码
namespace key
{
template<class K>
//Binary Search Tree Node
struct BSTNode
{
K _key;//树节点的数据
BSTNode<K>* _left;//树节点的左孩子
BSTNode<K>* _right;//树节点的右孩子
BSTNode(const K& key)//初始化根节点
:_key(key)
, _left(nullptr)
, _right(nullptr)
{
}
};
template<class K>
//Binary Search Tree
class BSTree
{
//两种重命名的方式
//typedef BSTNode<K> Node;
using Node = BSTNode<K>;
public:
bool Insert(const K& key)
{
//如果树为空,直接新增节点，赋值给_root
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(key);
return true;
}
//如果树不为空
Node* parent = nullptr;//parent的存在就是为了插入的，我们要插入在parent的左孩子或者右孩子
Node* cur = _root;
//找到空位置，插入节点
while (cur)
{
//插入值比当前节点小，往左走
if (key < cur->_key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else if (key > cur->_key)//插入值比当前节点大，往右走
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else
{
return false;//我们不支持插入相同的值
}
}
//找到了，cur就是当前要插入的位置
cur = new Node(key);
//判断是插入到parent的左边还是右边
if (key < parent->_key)
{
//往左走
parent->_left = cur;
}
else
{
//往右走
parent->_right = cur;
}
return true;
}
bool Find(const K& key)
{
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (key < cur->_key)
{
//小于，往左走
cur = cur->_left;
}
else if (key > cur->_key)
{
//大于，往右走
cur = cur->_right;
}
else//=
{
return true;//找到了
}
}
return false;//没找到
}
bool Erase(const K& key)
{
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (key < cur->_key)
{
//小于，往左走
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else if (key > cur->_key)
{
//大于，往右走
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else//找到了
{
//删除
//左为空
if (cur->_left == nullptr)
{
//根节点要特殊考虑，根节点没有父亲
if (cur == _root)
{
_root = cur->_right;
}
else
{
if (parent->_left == cur)//要删除节点是parent的左孩子
{
parent->_left = cur->_right;//父亲对应孩子指针指向N的右孩子（左为空）
}
else//要删除节点是parent的右孩子
{
parent->_right = cur->_right;//父亲对应孩子指针指向N的右孩子（左为空）
}
}
delete cur;//直接删除
}
else if (cur->_right == nullptr)//右为空
{
//根节点要特殊考虑，根节点没有父亲
if (cur == _root)
{
_root = cur->_left;
}
else
{
if (parent->_left == cur)//要删除节点是parent的左孩子
{
parent->_left = cur->_left;//父亲对应孩子指针指向N的左孩子（右为空）
}
else//要删除节点是parent的右孩子
{
parent->_right = cur->_left;//父亲对应孩子指针指向N的左孩子（右为空）
}
}
delete cur;//直接删除
}
else
{
//左右都不为空，采用替换法
//以找右子树最左节点为例
Node* replaceparent = cur;
Node* replace = cur->_right;
while (replace->_left)//左为空
{
replaceparent = replace;
replace = replace->_left;
}
//交换值
cur->_key = replace->_key;
//删除replace节点
if (replaceparent->_left == replace)//要删除节点是replaceparent的左孩子
{
replaceparent->_left = replace->_right;// 父亲对应孩子指针指向N的右孩子（左为空）
}
else
{
replaceparent->_right = replace->_right;// 父亲对应孩子指针指向N的右孩子（左为空）
}
delete replace;
}
return true;
}
}
return false;
}
//在类外无法直接访问_root
void InOrder()
{
_InOrder(_root);
cout << endl;
}
private:
//中序遍历打印
void _InOrder(Node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return;
}
_InOrder(root->_left);
cout << root->_key << " ";
_InOrder(root->_right);
}
private:
Node* _root = nullptr;
};
}三.二叉搜索树的性能分析
最优情况下，二叉搜索树为完全二叉树(或者接近完全二叉树)，其高度为： O(log2 N)。
最差情况下，二叉搜索树退化为单支树(或者类似单支)，其高度为： O( N)。
所以综合而言二叉搜索树增删查的时间复杂度为： O(N)。
那么这样的效率显然是无法满足我们需求的，我们后续需要继续讲解⼆叉搜索树的变形，平衡⼆叉搜索树：AVL树和红黑树，才能适用于我们在内存中存储和搜索数据。
另外需要说明的是，二分查找也可以实现 O(logN) 级别的查找效率，但是二分查找有两大缺陷： 1. 需要存储在支持下标随机访问的结构中，并且有序。
2. 插入和删除数据效率很低，因为存储在下标随机访问的结构中，插入和删除数据⼀般需要挪动数据。
这里也就体现出了平衡二叉搜索树的价值。我们后面一起了解。
四.二叉搜索树key和key/value使用场景
4.1 key搜索场景：
只有key作为关键码，结构中只需要存储key即可，关键码即为需要搜索到的值，搜索场景只需要判断key在不在。key的搜索场景实现的二叉树搜索树支持增删查，但是不支持修改，修改key破坏搜索树结构了。
场景1：小区无人值守车库，小区车库买了车位的业主车才能进小区，那么物业会把买了车位的业主的车牌号录入后台系统，车辆进入时扫描车牌在不在系统中，在则抬杆，不在则提示非本小区车辆，无法进入。
场景2：检查一篇英文文章单词拼写是否正确，将词库中所有单词放入二叉搜索树，读取问章中的单词，查找是否在二叉搜索树中，不在则波浪线标红线提示。
像我们在上面实现的二叉搜索树就满足key搜索场景。
4.2 key/value搜索场景：
每一个关键码key，都有与之对应的值value，value可以任意类型对象。树的结构中(结点)除了需要存储key还要存储对应的value，增/删/查还是以key为关键字走二叉搜索树的规则进行比较，可以快速查找到key对应的value。key/value的搜索场景实现的二叉树搜索树支持修改，但是不支持修改key，修改key破坏搜索树结构了，可以修改value。
场景1：简单中英互译字典，树的结构中(结点)存储key(英文)和vlaue(中文)，搜索时输入英文，则同时查找到了英文对应的中文。
场景2：商场无人值车库，入口进场时扫描车牌，记录车牌和入场时间，出口离场时，扫描车牌，查找入场时间，用当前时间-入场时间计算出停车时长，计算出停车费用，缴费后抬杆，车辆离场。
场景3：统计一篇文章中单词出现的次数，读取⼀个单词，查找单词是否存在，不存在这个说明第一次出现，（单词，1），单词存在，则++单词对应的次数。
我们在原来实现的二叉搜索树的基础上做些简单的整改即可。
namespace key_value
{
template<class K, class V>
struct BSTNode
{
K _key;
V _value;
BSTNode<K, V>* _left;
BSTNode<K, V>* _right;
BSTNode(const K& key, const V& value)
:_key(key)
, _value(value)
, _left(nullptr)
, _right(nullptr)
{}
};
// Binary Search Tree
// Key/value
template<class K, class V>
class BSTree
{
//typedef BSTNode<K> Node;
using Node = BSTNode<K, V>;
public:
// 强制生成构造
BSTree() = default;
BSTree(const BSTree& t)
{
_root = Copy(t._root);
}
BSTree& operator=(BSTree tmp)
{
swap(_root, tmp._root);
return *this;
}
~BSTree()
{
Destroy(_root);
_root = nullptr;
}
bool Insert(const K& key, const V& value)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(key, value);
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
//找到空位置，插入节点
while (cur)
{
if (key < cur->_key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else if (key > cur->_key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else
{
return false;
}
}
cur = new Node(key, value);
if (key < parent->_key)
{
parent->_left = cur;
}
else
{
parent->_right = cur;
}
return true;
}
Node* Find(const K& key)
{
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (key < cur->_key)
{
cur = cur->_left;
}
else if (key > cur->_key)
{
cur = cur->_right;
}
else
{
return cur;//找到了
}
}
return nullptr;
}
bool Erase(const K& key)
{
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (key < cur->_key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else if (key > cur->_key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else
{
//删除
//左为空
if (cur->_left == nullptr)
{
if (cur == _root)
{
_root = cur->_right;
}
else
{
if (parent->_left == cur)
{
parent->_left = cur->_right;
}
else
{
parent->_right = cur->_right;
}
}
delete cur;
}
else if (cur->_right == nullptr)//右为空
{
if (cur == _root)
{
_root = cur->_left;
}
else
{
if (parent->_left == cur)
{
parent->_left = cur->_left;
}
else
{
parent->_right = cur->_left;
}
}
delete cur;
}
else
{
//左右都不为空
Node* replaceparent = cur;
Node* replace = cur->_right;
while (replace->_left)//左为空
{
replaceparent = replace;
replace = replace->_left;
}
cur->_key = replace->_key;
if (replaceparent->_left == replace)
{
replaceparent->_left = replace->_right;
}
else
{
replaceparent->_right = replace->_right;
}
delete replace;
}
return true;
}
}
return false;
}
void InOrder()
{
_InOrder(_root);
cout << endl;
}
private:
void _InOrder(Node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return;
}
_InOrder(root->_left);
cout << root->_key << ":" << root->_value << endl;
_InOrder(root->_right);
}
void Destroy(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return;
Destroy(root->_left);
Destroy(root->_right);
delete root;
}
Node* Copy(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return nullptr;
Node* newRoot = new Node(root->_key, root->_value);
newRoot->_left = Copy(root->_left);
newRoot->_right = Copy(root->_right);
return newRoot;
}
private:
Node* _root = nullptr;
};
};int main()
{
string arr[] = { "苹果", "西瓜", "苹果", "西瓜", "苹果", "苹果", "西瓜",
"苹果", "香蕉", "苹果", "香蕉" };
key_value::BSTree<string, int> countTree;
for (const auto& str : arr)
{
// 先查找水果在不在搜索树中
// 1、不在，说明水果第一次出现，则插入<水果, 1>
// 2、在，则查找到的结点中水果对应的次数++
//BSTreeNode<string, int>* ret = countTree.Find(str);
auto ret = countTree.Find(str);
if (ret == nullptr)
{
countTree.Insert(str, 1);
}
else
{
// 修改value
ret->_value++;
}
}
countTree.InOrder();
key_value::BSTree<string, int> copy = countTree;
copy.InOrder();
return 0;
}总结：
二叉搜索树的基本特点及其使用场景我们已经介绍完了，还有一些知识点我们没提，我们后面先谈map/set/multimap/multiset系列容器，它们的底层就是二叉搜索树，之后再介绍平衡二叉搜索树：AVL树和红黑树。大家快来一起学习吧。
感谢各位大佬的观看，创作不易，还请各位大佬点赞支持~