线性可分支持向量机的原理推导【补充知识部分】9-10最大化函数max α,β L(x,α,β)关于x的函数 公式解析

本文是将文章《线性可分支持向量机的原理推导》中的公式单独拿出来做一个详细的解析，便于初学者更好的理解。在主文章中，有一个部分是关于补充拉格朗日对偶性的相关知识，此公式即为这部分里的内容。

公式 9-10 是基于公式 9-9 的进一步引申，它通过引入拉格朗日乘子，将约束优化问题转化为无约束问题，并为后续的对偶问题构造奠定基础。具体地，公式 9-10 定义了一个函数 ${\theta }_p(x)$，它是拉格朗日函数 $L(x,\alpha ,\beta )$ 对拉格朗日乘子 $\alpha$ 和 $\beta$ 取最大值的结果。公式 9-10 的表达式如下：
$${\theta }_p(x)=\underset{\alpha ,\beta }{\max }L(x,\alpha ,\beta )$$

1. 公式 9-10 的含义

公式 9-10 定义了一个新的函数 ${\theta }_p(x)$，它表示在给定 $x$ 的情况下，拉格朗日函数 $L(x,\alpha ,\beta )$ 相对于拉格朗日乘子 $\alpha$ 和 $\beta$ 的最大值。换句话说，对于每一个 $x$，我们通过调整 $\alpha$ 和 $\beta$ 来找到拉格朗日函数的最大值，得到的就是 ${\theta }_p(x)$。

直观理解：

• $L(x,\alpha ,\beta )$ 是拉格朗日函数，结合了目标函数和约束条件。
• $\alpha \ge 0$ 和 $\beta$ 是拉格朗日乘子，它们控制着不等式和等式约束对优化问题的影响。
• 最大化拉格朗日函数：通过最大化拉格朗日函数，我们能够得到当前 $x$ 下的“最坏情况”，即当约束条件对目标函数施加的影响最大时的情况。

换句话说，公式 9-10 描述了在不同的 $\alpha$ 和 $\beta$ 值下，如何找到使得拉格朗日函数 $L(x,\alpha ,\beta )$ 达到最大值的拉格朗日乘子组合。

2. 为什么最大化拉格朗日函数？

公式 9-10 的最大化操作目的是为了找到一个 $\alpha$ 和 $\beta$ 的组合，使得在给定 $x$ 下，拉格朗日函数值最大化。这反映了约束条件对优化问题的最大影响。

• 对于不等式约束 $c_i(x)\le 0$，当 $c_i(x)$ 违反约束时（即 $c_i(x)>0$），${\alpha }_i{c}_i(x)$ 会对拉格朗日函数施加惩罚。通过最大化 ${\alpha }_i$，我们确保这个惩罚的效果被充分考虑。
• 对于等式约束 $h_j(x)=0$，拉格朗日乘子 ${\beta }_j$ 的作用是对违反等式约束的情况进行修正。最大化 ${\beta }_j$ 的效果是确保等式约束的违反情况得到最大处理。

通过最大化 $\alpha$ 和 $\beta$，公式 9-10 实现了一个“最坏情况下”的优化效果，也就是找到拉格朗日函数可能取得的最大值。

3. 公式 9-10 的推导背景

在拉格朗日对偶理论中，原始问题的目标是最小化目标函数 $f(x)$ ，同时满足约束条件 $c_i(x)\le 0$ 和 $h_j(x)=0$。通过引入拉格朗日乘子，我们将这些约束条件转化为拉格朗日函数的一部分。

公式 9-10 是对拉格朗日函数的最大化操作，它实际上为我们提供了一种方法来处理原始问题的约束。通过对拉格朗日乘子进行最大化，我们能够找到约束对目标函数的最大影响，从而确保我们可以在最大化约束惩罚的条件下继续最小化目标函数。

4. 对偶问题的构造

公式 9-10 为后续的对偶问题奠定了基础。我们通过最大化拉格朗日函数来构造出对偶问题。在对偶问题中，拉格朗日乘子成为主要的优化变量，而不是原始问题中的 $x$。这样可以简化问题的求解。

对偶问题的优化目标：

公式 9-10 中的最大化是对拉格朗日乘子进行的。通过最大化拉格朗日函数，我们可以找到一个关于 $x$ 的最优解，从而定义对偶问题。在接下来的公式中，我们将通过对 $x$ 进行最小化，构造出完整的优化问题。

5. 几何直观

几何上，公式 9-10 可以被理解为找到在约束条件的影响下目标函数的“最坏情况”。当我们在优化过程中发现 $x$ 违反了某些约束，通过最大化拉格朗日乘子（即加大违反约束的惩罚），我们能够确保优化过程被引导回满足约束的区域。

6. 总结

公式 9-10 的核心是通过对拉格朗日函数中的拉格朗日乘子 $\alpha$ 和 $\beta$ 进行最大化操作，找到在给定 $x$ 下，拉格朗日函数的最大值。这个最大化操作反映了约束条件对优化目标的最大影响，确保了在“最坏情况下”，优化过程能够考虑到约束条件的影响。