深度学习之权重、偏差

1 权重偏差初始化

1.1 全都初始化为 0

偏差初始化陷阱： 都初始化为 0。

产生陷阱原因：因为并不知道在训练神经网络中每一个权重最后的值，但是如果进行了恰当的数据归一化后，我们可以有理由认为有一半的权重是正的，另一半是负的。令所有权重都初始化为 0，如果神经网络计算出来的输出值是一样的，神经网络在进行反向传播算法计算出来的梯度值也一样，并且参数更新值也一样。更一般地说，如果权重初始化为同一个值，网络就是对称的。

形象化理解：在神经网络中考虑梯度下降的时候，设想你在爬山，但身处直线形的山谷中，两边是对称的山峰。由于对称性，你所在之处的梯度只能沿着山谷的方向，不会指向山峰；你走了一步之后，情况依然不变。结果就是你只能收敛到山谷中的一个极大值，而走不到山峰上去。

1.2 全都初始化为同样的值

​ 偏差初始化陷阱： 都初始化为一样的值。
​ 以一个三层网络为例：
首先看下结构

它的表达式为：

$$a_1^{(2)}=f(W_{11}^{(1)}{x}_1+W_{12}^{(1)}{x}_2+W_{13}^{(1)}{x}_3+b_1^{(1)})$$

$$a_2^{(2)}=f(W_{21}^{(1)}{x}_1+W_{22}^{(1)}{x}_2+W_{23}^{(1)}{x}_3+b_2^{(1)})$$

$$a_3^{(2)}=f(W_{31}^{(1)}{x}_1+W_{32}^{(1)}{x}_2+W_{33}^{(1)}{x}_3+b_3^{(1)})$$

$$h_{W,b}(x)=a_1^{(3)}=f(W_{11}^{(2)}{a}_1^{(2)}+W_{12}^{(2)}{a}_2^{(2)}+W_{13}^{(2)}{a}_3^{(2)}+b_1^{(2)})$$

$$x{a}_1^{(2)}=f(W_{11}^{(1)}{x}_1+W_{12}^{(1)}{x}_2+W_{13}^{(1)}{x}_3+b_1^{(1)})a_2^{(2)}=f(W_{21}^{(1)}{x}_1+W_{22}^{(1)}{x}_2+W_{23}^{(1)}{x}_3+$$

如果每个权重都一样，那么在多层网络中，从第二层开始，每一层的输入值都是相同的了也就是$ a1=a2=a3=… $，既然都一样，就相当于一个输入了，为啥呢？？

如果是反向传递算法（如果这里不明白请看上面的连接），其中的偏置项和权重项的迭代的偏导数计算公式如下

$$
\frac{\partial}{\partial W_{ij}^{(l)}} J(W,b;x,y) = a_j^{(l)} \delta_i^{(l+1)}

\frac{\partial}{\partial b_{i}^{(l)}} J(W,b;x,y) = \delta_i^{(l+1)}
$$

$ \delta $ 的计算公式

$${\delta }_i^{(l)}=(\sum _{j=1}^{s_{t+1}}{W}_{ji}^{(l)}{\delta }_j^{(l+1)})f^{\prime }(z_i^{(l)})$$

如果用的是 sigmoid 函数

$$f^{\prime }(z_i^{(l)})=a_i^{(l)}(1-a_i^{(l)})$$

把后两个公式代入，可以看出所得到的梯度下降法的偏导相同，不停的迭代，不停的相同，不停的迭代，不停的相同…，最后就得到了相同的值（权重和截距）。

1.3 初始化为小的随机数

​ 将权重初始化为很小的数字是一个普遍的打破网络对称性的解决办法。这个想法是，神经元在一开始都是随机的、独一无二的，所以它们会计算出不同的更新，并将自己整合到整个网络的各个部分。一个权重矩阵的实现可能看起来像 $ W=0.01∗np.random.randn(D,H) $，其中 randn 是从均值为 0 的单位标准高斯分布进行取样。通过这个公式(函数)，每个神经元的权重向量初始化为一个从多维高斯分布取样的随机向量，所以神经元在输入空间中指向随机的方向(so the neurons point in random direction in the input space). 应该是指输入空间对于随机方向有影响)。其实也可以从均匀分布中来随机选取小数，但是在实际操作中看起来似乎对最后的表现并没有太大的影响。

​ 备注：并不是数字越小就会表现的越好。比如，如果一个神经网络层的权重非常小，那么在反向传播算法就会计算出很小的梯度(因为梯度 gradient 是与权重成正比的)。在网络不断的反向传播过程中将极大地减少“梯度信号”，并可能成为深层网络的一个需要注意的问题。

1.4 用 $ 1/\sqrt n $ 校准方差

​ 上述建议的一个问题是，随机初始化神经元的输出的分布有一个随输入量增加而变化的方差。结果证明，我们可以通过将其权重向量按其输入的平方根(即输入的数量)进行缩放，从而将每个神经元的输出的方差标准化到 1。也就是说推荐的启发式方法 (heuristic) 是将每个神经元的权重向量按下面的方法进行初始化: $ w=np.random.randn(n)/\sqrt n $，其中 n 表示输入的数量。这保证了网络中所有的神经元最初的输出分布大致相同，并在经验上提高了收敛速度。

1.5 稀疏初始化(Sparse Initialazation)

​ 另一种解决未校准方差问题的方法是把所有的权重矩阵都设为零，但是为了打破对称性，每个神经元都是随机连接地(从如上面所介绍的一个小的高斯分布中抽取权重)到它下面的一个固定数量的神经元。一个典型的神经元连接的数目可能是小到 10 个。

1.6 初始化偏差

​ 将偏差初始化为零是可能的，也是很常见的，因为非对称性破坏是由权重的小随机数导致的。因为 ReLU 具有非线性特点，所以有些人喜欢使用将所有的偏差设定为小的常数值如 0.01，因为这样可以确保所有的 ReLU 单元在最开始就激活触发(fire)并因此能够获得和传播一些梯度值。然而，这是否能够提供持续的改善还不太清楚(实际上一些结果表明这样做反而使得性能更加糟糕)，所以更通常的做法是简单地将偏差初始化为 0.