齐次线性微分方程的解的性质与结构
内容来源
常微分方程(第四版) (王高雄,周之铭,朱思铭,王寿松) 高等教育出版社
齐次线性微分方程定义
d n x d t n + a 1 ( t ) d n − 1 x d t n − 1 + ⋯ + a n − 1 ( t ) d x d t + a n ( t ) x = 0 \frac{\mathrm{d}^nx}{\mathrm{d}t^n}+ a_1(t)\frac{\mathrm{d}^{n-1}x}{\mathrm{d}t^{n-1}}+\cdots+ a_{n-1}(t)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+a_n(t)x=0 dtndnx+a1(t)dtn−1dn−1x+⋯+an−1(t)dtdx+an(t)x=0
其中 a i ( t ) a_i(t) ai(t) 是 a ⩽ t ⩽ b a\leqslant t\leqslant b a⩽t⩽b 上的连续函数
符合以上条件的方程的解存在且唯一，即
对于任意 t 0 ∈ [ a , b ] t_0\in[a,b] t0∈[a,b] 及 任意的 x 0 , x 0 ( 1 ) , ⋯ , x 0 ( n − 1 ) x_0,x^{(1)}_0,\cdots,x^{(n-1)}_0 x0,x0(1),⋯,x0(n−1) 上式存在唯一解 x = φ ( t ) x=\varphi(t) x=φ(t) 定义与 a ⩽ t ⩽ b a\leqslant t\leqslant b a⩽t⩽b 上，且满足初值条件
φ ( t 0 ) = x 0 , d φ ( t 0 ) d t n = x 0 ( 1 ) , ⋯ , d n − 1 φ ( t 0 ) d t n − 1 = x 0 ( n − 1 ) \varphi(t_0)=x_0,\frac{\mathrm{d}\varphi(t_0)}{\mathrm{d}t^n}=x^{(1)}_0, \cdots,\frac{\mathrm{d}^{n-1}\varphi(t_0)}{\mathrm{d}t^{n-1}}=x^{(n-1)}_0 φ(t0)=x0,dtndφ(t0)=x0(1),⋯,dtn−1dn−1φ(t0)=x0(n−1)
书上没有证明，只说类似一阶的情况
在初值条件给定的情况下才是唯一的
解的性质与结构
叠加原理
如果 x 1 ( t ) , x 2 ( t ) , ⋯ , x k ( t ) x_1(t),x_2(t),\cdots,x_k(t) x1(t),x2(t),⋯,xk(t) 是方程的 k k k 个解，则它们的线性组合
c 1 x 1 ( t ) + c 2 x 2 ( t ) + ⋯ + c k x k ( t ) c_1x_1(t)+c_2x_2(t)+\cdots+c_kx_k(t) c1x1(t)+c2x2(t)+⋯+ckxk(t)
也是方程的解，这里 c i c_i ci 是任意常数全为零不行吧
这个也没证明，只有两条提示：
“常数可以从微分号下提了出来”
“和的导数等于导数之和”
朗斯基(Wronsky)行列式
由定义在 a ⩽ t ⩽ b a\leqslant t\leqslant b a⩽t⩽b 上的 k k k 个可微 k − 1 k-1 k−1 次函数 x 1 ( t ) , x 2 ( t ) , ⋯ , x k ( t ) x_1(t),x_2(t),\cdots,x_k(t) x1(t),x2(t),⋯,xk(t) 所作成的行列式
W [ x 1 ( t ) , x 2 ( t ) , ⋯ , x k ( t ) ] ≡ W ( t ) ≡ ∣ x 1 ( t ) x 2 ( t ) ⋯ x k ( t ) x 1 ′ ( t ) x 2 ′ ( t ) ⋯ x k ′ ( t ) ⋮ ⋮ ⋮ x 1 ( k − 1 ) ( t ) x 2 ( k − 1 ) ( t ) ⋯ x k ( k − 1 ) ( t ) ∣ W[x_1(t),x_2(t),\cdots,x_k(t)]\equiv W(t)\equiv \left|\begin{matrix} x_1(t)&x_2(t)&\cdots&x_k(t)\\ x'_1(t)&x'_2(t)&\cdots&x'_k(t)\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ x^{(k-1)}_1(t)&x^{(k-1)}_2(t)&\cdots&x^{(k-1)}_k(t)\\ \end{matrix}\right| W[x1(t),x2(t),⋯,xk(t)]≡W(t)≡ x1(t)x1′(t)⋮x1(k−1)(t)x2(t)x2′(t)⋮x2(k−1)(t)⋯⋯⋯xk(t)xk′(t)⋮xk(k−1)(t)
称为这些函数的朗斯基行列式
用途
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若函数 x 1 ( t ) , x 2 ( t ) , ⋯ , x n ( t ) x_1(t),x_2(t),\cdots,x_n(t) x1(t),x2(t),⋯,xn(t) 在 a ⩽ t ⩽ b a\leqslant t\leqslant b a⩽t⩽b 上线性相关，则在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上它们的朗斯基行列式 W ( t ) ≡ 0 W(t)\equiv0 W(t)≡0
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如果方程的解 x 1 ( t ) , x 2 ( t ) , ⋯ , x n ( t ) x_1(t),x_2(t),\cdots,x_n(t) x1(t),x2(t),⋯,xn(t) 在 a ⩽ t ⩽ b a\leqslant t\leqslant b a⩽t⩽b 上线性无关，则 W [ x 1 ( t ) , x 2 ( t ) , ⋯ , x n ( t ) ] W[x_1(t),x_2(t),\cdots,x_n(t)] W[x1(t),x2(t),⋯,xn(t)] 在这个区间上的任何点上都不等于零
注意，第一点的逆定理一般不成立
证明1
由线性相关的假设，存在一组不全为零的常数 c 1 , c 2 , ⋯ , c n c_1,c_2,\cdots,c_n c1,c2,⋯,cn ，使得
c 1 x 1 ( t ) + c 2 x 2 ( t ) + ⋯ + c n x n ( t ) ≡ 0 , a ⩽ t ⩽ b c_1x_1(t)+c_2x_2(t)+\cdots+c_nx_n(t)\equiv0,a\leqslant t\leqslant b c1x1(t)+c2x2(t)+⋯+cnxn(t)≡0,a⩽t⩽b
将此恒等式依次对 t t t 求导
{ c 1 x 1 ′ ( t ) + c 2 x 2 ′ ( t ) + ⋯ + c n x n ′ ( t ) = 0 c 1 x 1 ′ ′ ( t ) + c 2 x 2 ′ ′ ( t ) + ⋯ + c n x n ′ ′ ( t ) = 0 ⋮ c 1 x 1 ( n − 1 ) ( t ) + c 2 x 2 ( n − 1 ) ( t ) + ⋯ + c n x n ( n − 1 ) ( t ) = 0 \begin{cases} c_1x'_1(t)+c_2x'_2(t)+\cdots+c_nx'_n(t)=0\\ c_1x''_1(t)+c_2x''_2(t)+\cdots+c_nx''_n(t)=0\\ \ \ \ \ \ \vdots\\ c_1x^{(n-1)}_1(t)+c_2x^{(n-1)}_2(t)+\cdots+c_nx^{(n-1)}_n(t)=0\\ \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧c1x1′(t)+c2x2′(t)+⋯+cnxn′(t)=0c1x1′′(t)+c2x2′′(t)+⋯+cnxn′′(t)=0 ⋮c1x1(n−1)(t)+c2x2(n−1)(t)+⋯+cnxn(n−1)(t)=0
加上求导前的恒等式，构成齐次线性代数方程组
系数行列式就是 W [ x 1 ( t ) , x 2 ( t ) , ⋯ , x n ( t ) ] W[x_1(t),x_2(t),\cdots,x_n(t)] W[x1(t),x2(t),⋯,xn(t)]
由线代理论可知，此方程组存在非零解，则它的系数行列式必须为零
证明2
用反证，假设存在某个 t 0 t_0 t0 使得 W ( t 0 ) = 0 W(t_0)=0 W(t0)=0
再次由线代理论知，上面的方程组一定有非零解 c 1 , c 2 , ⋯ , c n c_1,c_2,\cdots,c_n c1,c2,⋯,cn
用叠加原理构造一个新解
x ( t ) ≡ c 1 x 1 ( t ) + c 2 x 2 ( t ) + ⋯ + c n x n ( t ) x(t)\equiv c_1x_1(t)+c_2x_2(t)+\cdots+c_nx_n(t) x(t)≡c1x1(t)+c2x2(t)+⋯+cnxn(t)
这个解满足初值条件
x ( t 0 ) = x ′ ( t 0 ) = ⋯ = x ( n − 1 ) ( t 0 ) = 0 x(t_0)=x'(t_0)=\cdots=x^{(n-1)}(t_0)=0 x(t0)=x′(t0)=⋯=x(n−1)(t0)=0
就是方程组的每一行
但 x = 0 x=0 x=0 显然也是方程满足以上初值条件的解
由解的唯一性知 x ( t ) ≡ 0 x(t)\equiv0 x(t)≡0 ，即
c 1 x 1 ( t ) + c 2 x 2 ( t ) + ⋯ + c n x n ( t ) ≡ 0 c_1x_1(t)+c_2x_2(t)+\cdots+c_nx_n(t)\equiv0 c1x1(t)+c2x2(t)+⋯+cnxn(t)≡0
又 c 1 , c 2 , ⋯ , c n c_1,c_2,\cdots,c_n c1,c2,⋯,cn 不全为零，与 x 1 ( t ) , x 2 ( t ) , ⋯ , x n ( t ) x_1(t),x_2(t),\cdots,x_n(t) x1(t),x2(t),⋯,xn(t) 线性无关的假设矛盾
结合以上两点和解的存在唯一性
n n n 阶齐次线性方程一定存在 n n n 个线性无关的解
通解结构
如果 x 1 ( t ) , x 2 ( t ) , ⋯ , x n ( t ) x_1(t),x_2(t),\cdots,x_n(t) x1(t),x2(t),⋯,xn(t) 是方程的 n n n 个线性无关的解，则通解可表示为
x = c 1 x 1 ( t ) + c 2 x 2 ( t ) + ⋯ + c n x n ( t ) x=c_1x_1(t)+c_2x_2(t)+\cdots+c_nx_n(t) x=c1x1(t)+c2x2(t)+⋯+cnxn(t)
n n n 阶齐次线性微分方程的所有解构成一个 n n n 维线性空间
方程的一组 n n n 个线性无关解成为方程的一个基本解组
特别地，当 W ( t 0 ) = 1 W(t_0)=1 W(t0)=1 时称其为标准基本解组