套利定理
内容来源
数理金融初步（原书第3版）Sheldon M. Ross著 冉启康译 机械工业出版社
符号说明
考虑一个试验，其所有可能结果的集合为 { 1 , 2 , ⋯ , m } \{1,2,\cdots,m\} {1,2,⋯,m}
现有 n n n 个不同的赌博与此试验相关
假设我们在第 i i i 个赌博中投入了 x i x_i xi 单位的赌金（可正可负）
若试验结果为 j j j，可以得到收益 x i r i ( j ) x_ir_i(j) xiri(j)，其中 r i r_i ri 是第 i i i 个赌博的每单位收益函数
向量 x = ( x 1 x 2 , ⋯ , x n ) x=(x_1x_2,\cdots,x_n) x=(x1x2,⋯,xn) 称为赌博策略
那么由策略 x x x 得到的收益如下
∑ i = 1 n x i r i ( j ) \sum^n_{i=1}x_ir_i(j) i=1∑nxiri(j)
套利定理
下面的结论只有一个是正确的
存在一个概率测度 p = ( p 1 , p 2 , ⋯ , p n ) p=(p_1,p_2,\cdots,p_n) p=(p1,p2,⋯,pn) 使得
∑ j = 1 m p j r i ( j ) = 0 ，对所有 i \sum^m_{j=1}p_jr_i(j)=0，对所有i j=1∑mpjri(j)=0，对所有i
存在一个赌博策略 x x x，使得
∑ i = 1 n x i r i ( j ) > 0 ，对所有 j \sum^n_{i=1}x_ir_i(j)>0，对所有j i=1∑nxiri(j)>0，对所有j
上面的概率测度称为风险中性测度
例
用赔率表示赌博的收益，设结果 i i i 的赔率是 o i o_i oi，即
r i ( j ) = { o i , j = i − 1 , j ≠ i r_i(j)=\begin{cases} o_i&,j=i\\ -1&,j\ne i \end{cases} ri(j)={oi−1,j=i,j=i
为了使得不存在一个稳赢的策略，那么就一定要存在一个概率测度 p p p，使得在这个概率下对每一个 i i i ，都有
E p [ r i ] = o i p i − ( 1 − p i ) = 0 E_p[r_i]=o_ip_i-(1-p_i)=0 Ep[ri]=oipi−(1−pi)=0
即
p i = 1 1 + o i p_i=\frac{1}{1+o_i} pi=1+oi1
这意味着，不存在套利的条件是
∑ i = 1 n 1 1 + o i = 1 \sum^n_{i=1}\frac{1}{1+o_i}=1 i=1∑n1+oi1=1