论文阅读《机器人状态估计中的李群》
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摘要
李群是一个古老的数学抽象对象，可以追溯到19世纪，当时数学家 Sophus Lie奠定了连续变换群理论的基础。多年后，它的影响已经蔓延到科学和技术的各个领域。在机器人领域，我们最近正在经历一个重要的趋势，至少在估计领域，特别是在导航的运动估计方面。然而，对于绝大多数机器人专家来说，李群是高度抽象的结构，因此难以理解和使用。
在机器人估计技术中，通常不需要充分利用李群理论的能力，因此需要努力选择合适的阅读材料。在本文中，我们将通过李理论的最基本原理，目的是传达清晰和有用的想法，并留下一个重要的李理论语料库。即使有这样的缺陷，这里包含的材料已经被证明在机器人的现代估计算法中非常有用，特别是在SLAM，视觉里程计等领域。
除了这个微李理论之外，我们还提供了一个章节，其中包含一些应用示例，以及机器人中使用的主要李群的大量公式参考，包括大多数雅可比矩阵和容易操作它们的方法。我们还提供了一个新的C++模板库，实现了这里描述的所有功能。
1 介绍
在过去的几年里，机器人社区在正确地表述估计问题方面做出了显著的努力。这是由于对解决方案的精度、一致性和稳定性的要求越来越高。事实上，对状态和测量、与它们相关的函数及其不确定性进行适当的建模，对于实现这些目标至关重要。这导致了涉及所谓的“流形”的设计，在这种情况下，流形不亚于李群的光滑拓扑表面，状态表示在这里演变。依托李理论，我们能够构建一个严格的微积分语料库，以精确和轻松地处理不确定性、导数和积分。通常，这些工作集中在众所周知的旋转 S O ( 3 ) SO(3) SO(3)和刚性运动 S E ( 3 ) SE(3) SE(3)流形上。
当你第一次听说李群时，试着从不同的角度来看待它们是很重要的。拓扑学的观点，见图1，涉及流形的形状，并传达了它与切空间和指数映射关系的强大直觉。代数观点涉及群运算及其具体实现，允许利用代数性质来开发封闭形式的公式或简化它们。几何观点在机器人技术中特别有用，它将群元素与物体或参考系的位置、速度、方向和/或其他修改联系起来。原点坐标系可以用群的同一性来标识，流形上的任何其他点都代表某个“局部”坐标系。通过采用这些类比，李群的许多数学抽象可以更接近于向量空间、几何、运动学和其他更经典领域中的直观概念。
图1 李群与李代数关系的表示。