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量子奇异值阈值算法

article 2024/11/16 17:44:23

特征值分解只适用于方阵，如何扩展到任意形状的矩阵呢？奇异值分解能够解决此问题。量子奇异值阈值算法在奇异值分解的基础上将小的特征值设置为0，从而将小的特征值及其对应的特征向量去掉，进而降低矩阵的秩，达到降维的目的。

奇异值阈值算法

假设A是一个 $M\times N$ 的矩阵，A 的秩记为rank(A)=R。A的奇异值分解是指存在满足 $UU^{T}=I$ 和 $VV^{T}=I$ 的矩阵 $U=(u_{0},u_{1}...u_{M-1})\in R^{M\times M}$ 和 $V=(v_{0},v_{1}...v_{M-1})\in R^{N\times N}$

以及对角矩阵 $\Lambda =diag(\lambda _{1},\lambda _{2},...\lambda _{R-1},0,0,0)\in R^{M\times N}$ ，使得下式成立

$A=U\Lambda V^{T}$ (1)

其中 $\lambda _{1},\lambda _{2},...\lambda _{R-1}$ 为A 的奇异值，u0...和v0...分别为左右奇异量，则A的分解为

$A=U_{R}\Lambda _{R}V_{R}^{T}=\sum_{R=0}^{R-1}\lambda _{r}u_{r}v_{r}^{T}$ (2)

实验

实验中为了简化线路的设计与实现，假设A是方阵，进而可以设置 $\tilde{A}=A$ 此时奇异值就是特征值，左右奇异值向量就是特征向量。使用的矩阵为

$A=\begin{pmatrix} 1.5 & 0.5\\ 0.5 & 1.5 \end{pmatrix}$

其奇异值 $\lambda _{1} = 2$ 和 $\lambda _{1} = 1$ ，对应的左右奇异向量分别为

$|u_{0}\rangle= |v_{0}\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1)^{T}$ (3)

和

$|u_{1}\rangle= |v_{1}\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1)^{T}$ (4)

则算法输入为矩阵A的归一化形式：

$|\varphi \rangle = \frac{1.5}{\sqrt{5}}|00\rangle+ \frac{0.5}{\sqrt{5}}|01\rangle+ \frac{0.5}{\sqrt{5}}|10\rangle+\frac{1.5}{\sqrt{5}}|11\rangle=\frac{1}{2\sqrt{5}}(3,1,1,3)^{T}$ (5)

假设阈值 $\tau =0.8$ ，使得矩阵A的两个特征值在 $U_{\lambda ,\tau }$ 执行前后的比例从

$\frac{\lambda _{1}}{\lambda _{2}}=\frac{2}{1}$

变成

$\frac{1-\tau /\lambda _{1}}{1-\tau /\lambda _{2}}=\frac{3}{1}$

第一步：制备初始态

$|q_{1}q_{2}q_{3}q_{4}q_{5}\rangle=\frac{1}{\sqrt{5}}(2|u_{0}\rangle|v_{0}\rangle+1|u_{1}\rangle|v_{1}\rangle)|000\rangle$ (6)

第二步：利用相位估计将矩阵A 的特征值提取到 $q_{1}$ 和 $q_{2}$ 上，量子态演化为

$|q_{1}q_{2}q_{3}q_{4}q_{5}\rangle=\frac{1}{\sqrt{5}}(2|u_{0}\rangle|v_{0}\rangle|01\rangle+1|u_{1}\rangle|v_{1}\rangle|10\rangle)|0\rangle$ (7)

这里，将算子 $e^{iAt}$ 张量上单位矩阵 $I_{2\times 2}$ 将其扩展到4*4的矩阵，其实只需要将 $e^{iAt}$ 作用到 $q_{3}$ 即可。

第三步：通过CNOT门将矩阵A的特征值由 $|01\rangle$ 和 $|10\rangle$ 变为 $|11\rangle$ 和 $|10\rangle$ ，完成对奇异值的阈值变换，此时量子态演化为

$|q_{1}q_{2}q_{3}q_{4}q_{5}\rangle=\frac{1}{\sqrt{5}}(2|u_{0}\rangle|v_{0}\rangle|11\rangle+1|u_{1}\rangle|v_{1}\rangle|10\rangle)|0\rangle$

第四步：对 $q_{0}$ 进行受控旋转，将新的奇异值相关的信息提取到 $q_{0}$ 的概率幅上

第五步：执行第二步和第三步的逆操作，解除 $q_{1}$ 和 $q_{2}$ 与其他量子的纠缠。

在qasm仿真中添加measure语句会改变最终的测量结果，与理论值有略微的偏差，而不加测量语句，通过自动测量，仿真值与理论值基本吻合。原因还没有找到，但是可以猜测，通过measure语句，当某一条线路已经没有量子逻辑门了，测量便直接进行，而其他的线路仍有量子逻辑门，可能是这样的测量导致了偏差，而统一在所有逻辑门执行完成后测量的值与理论值基本吻合略微好。然而，测量得到的00001，01001，10001，11001的振幅分别为0.0003，0.00009，0.00008，0.00042。特征值比例为3：1，与理论有一定误差。

#量子奇异值阈值分解
from qiskit import QuantumRegister, ClassicalRegister, QuantumCircuit
from numpy import pi
from qiskit import QuantumCircuit, ClassicalRegister, QuantumRegister, transpile
from qiskit_aer import Aer
import numpy as np
from qiskit.visualization import plot_histogram

from math import pi
from qiskit.visualization import plot_histogram
# 创建一个量子电路，包含 4 个量子比特和 4 个经典比特
from qiskit import QuantumRegister, ClassicalRegister, QuantumCircuit
from numpy import pi

qreg_q = QuantumRegister(5, 'q')
creg_c = ClassicalRegister(5, 'c')
circuit = QuantumCircuit(qreg_q, creg_c)

circuit.h(qreg_q[3])
circuit.h(qreg_q[2])
circuit.h(qreg_q[1])
circuit.x(qreg_q[3])
circuit.cu(0.635, 0, 0, 0, qreg_q[3], qreg_q[4])
circuit.x(qreg_q[3])
circuit.cu(2.5, 0, 0, 0, qreg_q[3], qreg_q[4])
circuit.cu(-pi / 2, -pi / 2, pi / 2, 0, qreg_q[2], qreg_q[3])
circuit.u(3 * pi / 4, 0, 0, qreg_q[2])
circuit.cx(qreg_q[1], qreg_q[3])
circuit.swap(qreg_q[1], qreg_q[2])
circuit.h(qreg_q[2])
circuit.cu(-pi / 2, 0, 0, 0, qreg_q[1], qreg_q[2])
circuit.h(qreg_q[1])
circuit.cx(qreg_q[1], qreg_q[2])
circuit.cu(-pi / 16, 0, 0, 0, qreg_q[1], qreg_q[0])
circuit.cu(-pi / 32, 0, 0, 0, qreg_q[2], qreg_q[0])
circuit.cx(qreg_q[1], qreg_q[2])
circuit.h(qreg_q[1])
circuit.cu(pi / 2, 0, 0, 0, qreg_q[1], qreg_q[2])
circuit.h(qreg_q[2])
circuit.swap(qreg_q[1], qreg_q[2])
circuit.cx(qreg_q[1], qreg_q[3])
circuit.h(qreg_q[1])
circuit.u(-3 * pi / 4, 0, 0, qreg_q[2])
circuit.cu(-pi / 2, pi / 2, -pi / 2, 0, qreg_q[2], qreg_q[3])
circuit.h(qreg_q[2])
circuit.measure(qreg_q[0], creg_c[0])
circuit.measure(qreg_q[1], creg_c[1])
circuit.measure(qreg_q[2], creg_c[2])
circuit.measure(qreg_q[3], creg_c[3])
circuit.measure(qreg_q[4], creg_c[4])
# Draw the circuit
circuit.draw(output='mpl')

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