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python之求平面离散点集围成的面积

article 2025/1/18 18:09:02

鞋带公式（Shoelace Formula）是一种计算多边形面积的数学公式，特别适用于已知顶点坐标的多边形。这个公式的名字来源于计算过程中的交叉相乘，类似于系鞋带时的交叉方式。

假设一个多边形有 $n$ 个顶点，顶点的坐标依次为 $((x_1, y_1), (x_2, y_2), \ldots, (x_n, y_n)$ ，并且最后一个顶点与第一个顶点相连，即 $(x_{n+1}, y_{n+1}) = (x_1, y_1)$ 。那么，这个多边形的面积 $\ A$ 可以通过以下公式计算：

$A = \frac{1}{2} \left| \sum_{i=1}^{n} (x_i y_{i+1} - y_i x_{i+1}) \right|$

这个公式可以这样理解：我们把多边形的顶点坐标按顺序排列，然后将每个顶点的 $ x $ 坐标与下一个顶点的 $ y $ 坐标相乘，再减去每个顶点的 $ y $ 坐标与下一个顶点的 $ x $ 坐标相乘，最后将所有这些乘积的差求和并取绝对值，再除以 2，就得到了多边形的面积。

鞋带公式的计算过程可以直观地表示为：

$A = \frac{1}{2} \left| x_1y_2 + x_2y_3 + \cdots + x_ny_1 - (y_1x_2 + y_2x_3 + \cdots + y_nx_1) \right|$

这个公式在计算多边形面积时非常有用，特别是在编程和计算机图形学中，因为它可以很容易地通过循环和数组来实现。

对于平面离散点集围成的面积，只要这些点能够形成一个简单的多边形（即不自交的多边形），就可以使用鞋带公式来计算。首先，需要确定这些点的顺序，使得它们能够形成一个闭合的多边形。然后，按照鞋带公式的步骤，计算出多边形的面积。

例如，假设我们有四个点 $((1, 1), (4, 1), (4, 5), (1, 5))$ ，它们可以形成一个矩形。按照鞋带公式，我们可以这样计算面积：

$A = \frac{1}{2} \left| 1 \cdot 1 + 4 \cdot 5 + 4 \cdot 5 + 1 \cdot 1 - (1 \cdot 4 + 1 \cdot 4 + 5 \cdot 1 + 5 \cdot 1) \right|$

$A = \frac{1}{2} \left| 1 + 20 + 20 + 1 - (4 + 4 + 5 + 5) \right|$

$A = \frac{1}{2} \left| 42 - 18 \right|$

$A = \frac{1}{2} \times 24 = 12$

所以，这个矩形的面积是 12。
下面通过python实现圆的面积计算：

import numpy as np
def shoelace_formula(x,y):
    x=np.append(x,x[0])
    y=np.append(y,y[0])
    n=len(x)-1
    area=0
    for i in range(n):
        area+=(x[i]*y[i+1])-(y[i]*x[i+1])
    area=abs(area)/2.0
    return area
theta = np.arange(0, 2 * np.pi, 0.01)
r=1
x =  r * np.cos(theta)
y =  r * np.sin(theta)
area_theory=np.pi*r**2
area_cal=shoelace_formula(x,y)
print("area_theory:",area_theory)
print("area_cal:",area_cal)

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http://www.kler.cn/a/442301.html