2.系统学习-逻辑回归

前言

逻辑回归与线性回归均属于广义线性模型，区别在于线性回归用于解决回归问题，例如身高、销量等连续变量预测，逻辑回归用于二分类问题，例如判断是否为垃圾邮件，客户是否会点击广告。本章我们将首先了解最大似然估计，一步步推导出逻辑回归模型，最大似然估计广泛用于各类机器学习、深度学习，需要认真理解。接着会以实际案例，讲解非结构化数据处理的基础方法，分类问题建模流程。
学习目标：

• List item
• 最大似然估计
• 逻辑回归模型
• 常用的分类问题评价指标
• 基础数据处理&分类问题建模
• 独自完成Kaggle Titanic竞赛首次提交，得分需要高于0.75链接: Titanic Machine Learning from Disaster
  

最大似然估计

概率

硬币有正反两面，如果硬币正反两面是均匀的，即每次抛掷后硬币为正的概率是0.5。使用这个硬币，很可能抛10次，有5次是正面。但是假如有人对硬币做了手脚，比如提前对硬币做了修改，硬币正面朝上概率大幅度提升了，你拿到硬币在尝试抛了10次，结果8次都是正面，如何估算下次硬币为正的概率呢？
$$P(8正2反|\theta )=C_{10}^2(1-\theta {)}^2\cdot {\theta }^8$$

import numpy as np 
print(f"theta = 0.6,  概率为{10*9/2 * np.power(10.6, 2) * np.power(0.6, 8):.3}") 
print(f"theta = 0.7,  概率为{10*9/2 * np.power(10.7, 2) * np.power(0.7, 8):.3}") 
print(f"theta = 0.8,  概率为{10*9/2 * np.power(10.8, 2) * np.power(0.8, 8):.3}") 

theta = 0.6, 概率为0.121
theta = 0.7, 概率为0.233
theta = 0.8, 概率为0.302
可以看出，我们假设硬币朝正面参数为0.8的时候，出现8正2反情况的概率最大。我们有理由相信，0.8是候选的3个参数中的最接近真实概率的选项。

似然函数(likelihood function)

在上面的尝试中，0.8似乎是一个不错的猜测没，，但是否可能是0.81或者0.79呢，我们当然可以按照上面的方法再次计算概率，但是问题是我们无法遍历整个空间。因此我们需要定义一个函数来表示不同的参数 下，表示多个独立事件θ (x1, x2,…,xn)发生的整体概率，这个函数我们叫它似然函数( likelihood function， 通常用L表)，其中组合数部分是常数，我们可以直接忽略。$$L(x_1,x_2,\dots ,x_n|\theta )=\prod _{i=1}^{n}p(x_i|\theta )$$
似然函数通常用L表示,观察到抛硬币“8正2反”的事实，硬币参数 取不同值时，似然函数表示为：$$L(8正2反|\theta )=(1-\theta {)}^2\cdot {\theta }^8$$

通过似然函数，我们只要能找到使得似然函数最大（多个独立事件发生的整体概率最大化），就可以完成对硬币参数的估计了，这就是最大似然估计：
$$\hat{\theta }=\arg \underset{\theta }{\max }\prod _{i=1}^{n}p(x_i|\theta )$$

最大似然估计

通常，由于似然函数为连乘，会造成小数位过高，无法有效表示，我们采用对数似然函数进行表示，把连乘转化为累加形式：$$l(x_1,x_2,\dots ,x_n|\theta )=\sum _{i=1}^n\log p(x_i|\theta )$$
$$\hat{\theta }=\arg \underset{\theta }{\max }\sum _{i=1}^n\log p(x_i|\theta )$$

逻辑回归

逻辑回归是线性分类模型，说线性是因为其决策边界是线性的（平面或超平面），模型输出值域为(0,1)，通常我们将输出结果视为属于正样(y = 1)的概率。我们先来看一下逻辑回归模型的数学表示：$$P(x)=\sigma (w^{T}x)=\frac{1}{1+{\exp }^{-w^{T}x}}$$

import numpy as np 
import matplotlib.pyplot as plt 
%matplotlib inline 
def sigmoid(x): 
    return 1 / (1 + np.exp(-x)) 
data = np.arange(-10, 10, 0.1) 
plt.plot(data, sigmoid(data)) 

逻辑回归的似然函数与梯度

tips: 本段包含了不少公式计算，但公式本身的推导细节并不是最重要的，最重要的是通过引入似然函数，我们构造了逻辑回归的损失函数，且该损失函数可以利用梯度下降进行优化。

$$p(y=y^i|x^i)=p(x^i{)}^{y^i}(1-p(x^i){)}^{1-y^i}$$

$$\text{Likelihood}=\prod _{i}p(y=y^i|x^i)=\prod _{i}p(x^i{)}^{y^i}(1-p(x^i){)}^{1-y^i}$$
两边同时取对数，对数似然函数为：
$$\text{loglikelihood}=\sum _i\left[y^i\log p(x^i)+(1-y^i)\log (1-p(x^i))\right]$$
$$\text{loglikelihood}=\sum _i\left[y^i\log \frac{p(x^i)}{1-p(x^i)}+\log (1-p(x^i))\right]$$
那么这个对数似然函数就是我们需要优化的目标的，其值越大越好，越大说明模型预测概率和真实发生概率一致性越高。由于梯度下降法是验证最小化损失函数目标进行的，因此我们对对数似然函数乘以‑1。
$$J(w)=-\sum _i\left[y^i\log \frac{p(x^i)}{1-p(x^i)}+\log (1-p(x^i))\right]$$
求关于参数的梯度,根据求导法则可得：
$$g=\frac{\partial J}{\partial w}=\sum _i\left(p(x^i)-y^i\right)\cdot x^i$$

有了梯度，根据上节课我们学习的梯度下降，就可以根据学习率α逐步迭代更新模型参数$$w=w-\alpha \cdot g$$

分类问题常用评价指标

在二分类场景，模型所有的预测结果可以分为四类：

1. TP（True positive)，意思是模型预测为正样本（Positive），预测是正确的（True）
2. FP（False positive），意思是模型预测为正样本（Positive），预测是错误的（False）
3. TN（True negtive），意思是模型预测为负样本（negtive），预测是正确的（True）
4. FN（False negtive），意思是模型预测为负样本（negtive），预测是错误的（False）
   基于以上四类预测结果，我们可以定义指标：

from sklearn.metrics import accuracy_score, precision_score, recall_score 
y_true = [1, 1, 0, 1, 0] 
y_pred = [0, 1, 0, 1, 0]
accuracy_score(y_true, y_pred)#0.8
precision_score(y_true, y_pred)#1.0
recall_score(y_true, y_pred)#0.6666666666666666

在一些极端场景下，准确率会失效，比如正负样本及其不均匀的情况：

y_true = [1, 1, 1, 1, 1, 0] 
y_pred = [1, 1, 1, 1, 1, 1] 
accuracy_score(y_true, y_pred) #0.8333333333333334

不过什么输入，模型都预测为正样本，导致模型本质上没有预测能力，但是依然能够取得很高的Accuracy。为了避免评估指标失效，我们可以同时查看precision 和 recall指标

precision_score(y_true, y_pred) #0.8333333333333334
recall_score(y_true, y_pred) # 1.0

也可以应用一个由recall,precision 一起组成的复合指标 f1‑score，该值越大，说明模型表现越好:
$$f1=\frac{2\cdot \text{recall}\cdot \text{precision}}{\text{recall}+\text{precision}}$$

 from sklearn.metrics import f1_score
 f1_score(y_true, y_pred) # 0.9090909090909091
 

p = precision_score(y_true, y_pred) 
r = recall_score(y_true, y_pred) 
 
2 * p * r / (p + r) #0.9090909090909091

项目案例

链接: Titanic Machine Learning from Disaster

# 导入所需的库
import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns
import re 
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
from sklearn.preprocessing import StandardScaler, PolynomialFeatures, OneHotEncoder
from sklearn.metrics import accuracy_score, precision_score, recall_score, f1_score
%matplotlib inline 

# 读取 Titanic 数据集
train = pd.read_csv("./titanic/train.csv")  # 训练数据
test = pd.read_csv("./titanic/test.csv")    # 测试数据
submission = pd.read_csv("./titanic/gender_submission.csv")  # 示例提交文件

# 数据概览
print(train.head())  # 查看训练数据的前几行
print(test.head())   # 查看测试数据的前几行
print(train.isnull().sum())  # 检查训练数据的缺失值

# 填充缺失值
# 用中位数填充缺失的年龄数据
train['Age'] = train['Age'].fillna(train['Age'].median())
test['Age'] = test['Age'].fillna(test['Age'].median())

# 用众数填充缺失的登船港口数据
train['Embarked'] = train['Embarked'].fillna('S')
test['Embarked'] = test['Embarked'].fillna('S')

# 用票价的中位数填充缺失的票价数据
test['Fare'] = test['Fare'].fillna(test['Fare'].median())

# 数据预处理
# 将性别和登船港口转换为数值类型
train = pd.get_dummies(train, columns=['Sex', 'Embarked'], drop_first=True)
test = pd.get_dummies(test, columns=['Sex', 'Embarked'], drop_first=True)

# 删除不需要的列
train.drop(['Name', 'Ticket', 'Cabin'], axis=1, inplace=True)
test.drop(['Name', 'Ticket', 'Cabin'], axis=1, inplace=True)

# 提取目标变量和特征
train_target = train['Survived']  # 目标变量
train_features = train.drop(['Survived', 'PassengerId'], axis=1)  # 特征
test_features = test.drop(['PassengerId'], axis=1)  # 测试集特征

# 标准化特征
scaler = StandardScaler()
train_features = scaler.fit_transform(train_features)
test_features = scaler.transform(test_features)

# 逻辑回归模型
model = LogisticRegression()  # 创建逻辑回归模型
model.fit(train_features, train_target)  # 训练模型

# 模型评估
predictions = model.predict(train_features)  # 在训练集上预测
print("Accuracy:", accuracy_score(train_target, predictions))  # 准确率
print("Precision:", precision_score(train_target, predictions))  # 精准率
print("Recall:", recall_score(train_target, predictions))  # 召回率
print("F1 Score:", f1_score(train_target, predictions))  # F1 分数

# 在测试集上进行预测
test_predictions = model.predict(test_features)

# 生成提交文件
submission['Survived'] = test_predictions
submission.to_csv("./submission.csv", index=False)  # 保存结果到 CSV 文件

print("结果已保存至 submission.csv")

拓展内容

需要注意的是，逻辑回归虽然存在sigmoid函数将输出结果映射到0～1区间，但本质依然是一个线性模型，因为模型的分类决策边界是一个平面，而不是曲面或其他，以下图为例，中间的蓝色直线就是我们的分类（超）平面，位于平面上方的点为正样本，下方的点为负样本，这个分类（超）平面可以用一个线性方程表示出来。

作业

1. 分类问题中，在正负样本不均衡的情况下，我们如何评价模型？
2. 在Titanic Machine Learning from Disaster比赛提交逻辑回归建模预测结果，需要得分高于0.75