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再谈c++线性关系求值

article 2025/3/4 5:52:34

目的

线性关系是最简单的一种关系，在编程当中应用非常多，所以，再说一次线性关系。
线性关系的定义是这样的：
两个变量之间存在一次方函数关系，就称它们之间存在线性关系。正比例关系是线性关系中的特例，反比例关系不是线性关系。更通俗一点讲，
如果把这两个变量分别作为点的横坐标与纵坐标，其图象是平面上的一条直线，则这两个变量之间的关系就是线性关系。
在工作当中经常用到这一个线性关系，比如判断测量的值是否合法，就用线性关系推出的值进行比较；比如根据线性关系推出另一个值是多少，这都是经常用到的。
下面就用一个生活中的例子，再说一下线性关系的应用。

过程

有这么一个问题：
如果班级考试是这样的：
在这里插入图片描述
成绩都是不一样的，奖金随成绩的增加而按照一样的比例增加，求小李的奖金应该发多少？。
通过上面描述就就可以知道，成绩与奖金之间是线性关系，因为其是按照一定比例同时增加，所以就是线性关系。
就可以利用线性关系两点公式求出小李的奖金是多少？，先画画图看看情况：
两点公式：
(y-y1)/(x-x1) = (y2-y1)/(x2-x1)
编程解决这一个问题：

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
inline double calcLinearValue(const double y2, const double x2, const double y1, const double x1, const double x)
{
    return (y2 - y1) / (x2 - x1) * (x - x1) + y1;
}
int main()
{
    double y = 0.0;
    vector<double> score = {60, 70, 100};
    vector<double> bonus= {1, y, 10 };
    cout << "bonus is: " << calcLinearValue(bonus[2], score[2], bonus[0], score[0], score[1]) << endl;
}

在这里插入图片描述

最终得出小李的奖金应该是：3.25元

两点公式的证明

在这里插入图片描述

两种方法可以证明：
1、斜率一样，这一个很明显，也可以理解为正切值相等
斜率表示一条平面上直线关于坐标轴的倾斜程度。它通常用直线与坐标轴夹角（倾斜角）的正切来定义，也等于直线上两点的纵坐标之差与横坐标之差的比来表示。需要注意的是，当直线与纵坐标轴平行时，斜率不存在。利用斜率可以解决一些数学问题，可以用来表示直线方程，还可以为一些代数式提供几何直观。
正切值是指是直角三角形中，某一锐角的对边与另一相邻直角边的比值 [1]。对于任意一个实数x，都对应着唯一的角，而这个角又对应着唯一确定的正切值tanx与它对应，按照这个对应法则建立的函数称为正切函数。
2、相似三角形，这一个比较好用，就是相似三角形的对应边成比例
相似三角形的定义
对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似用符号“∽”来表示，读作“相似于”。相似三角形对应边的比叫做相似比。 [1]
如图1，△ABC 和 △DEF 相似，写作“△ABC∽ △DEF”。对应边的比，因此△ABC与△DEF的相似比为，△DEF与△ABC的相似比为。
在这里插入图片描述