“进制转换”公式大集合

咱们都知道十进制是“逢10进1 ”，同理，N进制就是 “逢N进1”。进制其实就这么简单。它的麻烦之处在于各种进制之间的转换。

一、十进制整数转N进制

1．十进制转二进制

除2取余法：连续除以2，直到商为0，逆序排列余数。

例如十进制数57转为二进制数：

逆序排列余数（从下往上）得到二进制数：111001B。

注意除2取余每次都是用上次的商作为被除数，即：取商除2取余。

2．十进制转二进制

十进制转N进制与转二进制算法如出一辙，即除n取余法。

比如把十进制数107转换成八进制：

107除以8等于13，余数是3；

13除以8等于1，余数是5；

1除以8等于0，余数是1。

把这些余数倒序排列，就是153，这就是十进制数107的八进制表示。

二、N进制整数转十进制数

1．二进制转十进制

按位权展开：各位数字乘以位权的和。

这是因为现行的计数方法都是采用“位值法（Positional Value Algorithm）”，它的特点是各位数字所表示值的大小不仅与该数字本身的大小有关，还与该数字所在的位置有关。位置所代表的权重称为位权，简称权。

看似很高大上，但其实这种表示方法我们非常熟悉，比如：9527=9*1000+5*100+2*10+7。

上面算式中的1000、100、10、1就是位权，因此我们可以得到一个公式：数=∑数字*位权。

1000、100、10、1分别对应10^3、10^2、10^1、10^0，这下你看出门道没？底数代表进制，指数代表位置（从个位起向左依次为0、1、2、……）。

那么，你自然能联想到，二进制位权的底数就应该是2。

如二进制数111001.000B数字与位权的对应关系：

按位权展开求和即可得到对应的十进制数：

其实，本质上来说，位值法的位权表示的是倍数关系：每一位都是后一位的N倍。N就是指N进制，十进制就表示每一位是后一位的10倍，二进制就表示每一位是后一位的2倍。这其实就是位权展开法的原理。

2．N进制转十进制

其他进制数转十进制数同理，八进制数的位权是以8为底的幂，十六进制数的位权是以16为底的幂。位权的底数部分被称为“基数”，二进制的基数是2，十进制的基数是10，八进进制的基数是8，十六进制的基数是16。

比如8进制数字153，按位权展开求和为：

三、进制快捷转换

因2的3次方是8，所以二进制转为八进制时，可3个一组进行转换，每组内位权的指数编号重新从零开始计算。如111001B转为八进制数：

同理，由于2的4次方是16，二进制转十六进制时，可4个一组进行转换（优先满足右侧分组，因为最高位可以补零）​，如111001B转为十六进制数：

四、十进制小数转二进制数

与整数“除2取余法”的门道儿正相反，采用“乘2取整法”。

乘2取整法：用2乘十进制小数，将积的整数部分取出，再用2乘余下的小数部分，如此循环，将每步取出的整数部分顺序排列，即为小数的二进制。

例如，十进制数32.12转为二进制数：

整数部分32用除2取余得到二进制数为100000。

小数部分为0.12，用乘2取整法：

注意乘2取整每次都是用上次积的小数部分作为乘数，即：取小乘2取整。

与整数不同的是，乘2取整可能会无限运算下去，需按题目精度要求截取足够位数。​

顺序排列（从上到下）取出整数，得到小数部分的二进制数为.000111。

故最终求得二进制小数：100000.000111。

总结：整数部分，除2取余、逆序排列；小数部分，乘2取整、顺序排列。