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概率论期末考题类型

文章目录

  • 一、基础知识
    • 1.事件之间的关系与条件概率
    • 2.一维离散型求概率等
    • 3.一维连续型求矩估计等
    • 4.二维离散型求概率等
    • 5.二维离散型求期望、方差、协方差、相关系数
    • 6.二维连续型求概率、边缘密度函数等
  • 二、证明
    • 1.有关一维随机变量的概率
    • 2.离散型的相关性、独立性
  • 三、应用
    • 1. 指数分布
    • 2.求极大似然估计
  • 四、贝叶斯与置信区间
    • 1.贝叶斯公式的应用
    • 2.求置信区间


一、基础知识

1.事件之间的关系与条件概率

知识点:
1.加法公式
在这里插入图片描述
2.减法公式
在这里插入图片描述
3.条件概率公式(反过来求P(AB)即为乘法公式)
在这里插入图片描述

4.独立:
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
5.互不相容和独立
互不相容:P(AB) = 0 = > => => P(AUB) = P(A) + P(B)
独立:P(AB) = P(A)·P(B)

例题:
1.在这里插入图片描述在这里插入图片描述

在这里插入图片描述
在这里插入图片描述

2.一维离散型求概率等

知识点:
1.二项分布B(n, p)
在这里插入图片描述
2.泊松分布P(λ)
在这里插入图片描述

例题:

在这里插入图片描述在这里插入图片描述

3.一维连续型求矩估计等

知识点
1.均匀分布U(a, b)
2.指数分布Exp(λ)
3.正态分布N(μ, σ)
在这里插入图片描述

例题
在这里插入图片描述在这里插入图片描述

4.二维离散型求概率等

例题:
1.
在这里插入图片描述在这里插入图片描述在这里插入图片描述在这里插入图片描述
2.
在这里插入图片描述

5.二维离散型求期望、方差、协方差、相关系数

知识点:
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述

例题:
在这里插入图片描述

6.二维连续型求概率、边缘密度函数等

例题:
1.边缘密度函数
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
2.
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述

二、证明

1.有关一维随机变量的概率

2.离散型的相关性、独立性

相关性:
看他的相关系数ρ,若为0则不相关
ρ=0 => Cov(x, y)=0 => E(XY)=E(X)E(Y)

独立性:
看每行是否成比例

独立 可以推出 不相关
相关 可以推出 不独立

三、应用

1. 指数分布

x ∼ E ( λ ) , f ( x ) = { λ e − λ x , x ≥ 0 0 , e l s e    ( λ > 0 ) x \sim E(\lambda), f(x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x} & ,\text x \geq 0 \\ 0 & ,\text else \end{cases} ~~(\lambda>0) xE(λ),f(x)={λeλx0,x0,else  (λ>0)
分布函数

在这里插入图片描述
例题在这里插入图片描述在这里插入图片描述

2.求极大似然估计

例题
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述

四、贝叶斯与置信区间

1.贝叶斯公式的应用

知识点:
1.全概率公式:将复杂事件A划为几个简单事件B求
在这里插入图片描述
2.贝叶斯公式:在复杂事件A发生的条件下,求简单事件B₁发生的概率在这里插入图片描述

例题
1.在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
2.
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述

2.求置信区间

公式
在这里插入图片描述


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