动态规划解决不同的二叉搜索树问题

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思路:

(1).确定dp数组表示的含义:

dp[i]:1到i为节点组成的二叉搜索树的个数为dp[i]

也可以理解是i个不同元素节点组成的二叉搜索树的个数为dp[i]

(2).确定递推公式:

dp[i] += dp[以j为头结点左子树节点数量] * dp[以i-j为头结点右子树节点数量]

j相当于是头结点的元素，从1遍历到i为止

所以递推公式:dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]; j-1为j为头结点左子树节点数量，i-j为以j为头结点右子树节点数量

举例说明:

dp[3]就是元素1为头结点搜索树的数量 + 元素2为头结点搜索树的数量 + 元素3为头结点搜索树的数量

元素1为头结点搜索树的数量 = 右子树有2个元素的搜索树数量 * 左子树有0个元素的搜索树数量

元素2为头结点搜索树的数量 = 右子树有1个元素的搜索树数量 * 左子树有1个元素的搜索树数量

元素3为头结点搜索树的数量 = 右子树有0个元素的搜索树数量 * 左子树有2个元素的搜索树数量

有2个元素的搜索树数量就是dp[2]。

有1个元素的搜索树数量就是dp[1]。

有0个元素的搜索树数量就是dp[0]。

所以dp[3] = dp[2] * dp[0] + dp[1] * dp[1] + dp[0] * dp[2]

(3).初始化dp数组:

初始化，只需要初始化dp[0]就可以

从定义上来讲，空节点也是一棵二叉树，也是一棵二叉搜索树，这是可以说得通的

所以初始化dp[0] = 1

(4).确定遍历顺序:

外层循环:i从1遍历到n(包含)

内层循环:j从1遍历到i(包含),实际上是表示根节点依次取值为1到i的情况，当根节点为j时，它的左子树只能包含j-1个节点，而右子树包含i-j个节点

每次内层循环时，令dp[i]加上dp[j - 1] * dp[i - j]

Java代码:

class Solution {
    public int numTrees(int n) {
        //初始化 dp 数组
        int[] dp = new int[n + 1];
        //初始化0个节点和1个节点的情况
        dp[0] = 1;
        dp[1] = 1;
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= i; j++) {
                //对于第i个节点，需要考虑1作为根节点直到i作为根节点的情况，所以需要累加
                //一共i个节点，对于根节点j时,左子树的节点个数为j-1，右子树的节点个数为i-j
                dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j];
            }
        }
        return dp[n];
    }
}