一文读懂相关性分析法

相关性分析

问题的提出

蝴蝶翅膀震动$\to$龙卷风

相关关系的概念

客观现象之间的数量联系存在着两种不同的类型：函数关系和相关关系

函数关系：
即当一个(或一组)变量每取一个值时，相应的另一个变量必然有一个确定值与之对应
如果变量之间有因果关系，那么原因变量就叫作自变量，而受自变量影响的变量就称因变量。一般自变量记为x，因变量记为y。

相关关系
变量之间存在有依存关系，但这种关系是不完全确定的随机关系，即当一个(或一组)变量每取一个值时，相应的另一个变量可能有多个不同值与之对应。

1. 变量间关系不能用函数关系精确表达；
2. 一个变量的取值不能由另一个变量唯一确定；
3. 当变量 x 取某个值时，变量 y 的取值可能有几个；
4. 各观测点分布在直线周围。

具有函数关系的变量，当存在观测误差和随机因素影响时，其函数关系往往以相关的形式表现出来。
而具有相关关系的变量之间的联系，如果我们对它们有了深刻的规律性认识，并且能够把影响因变量变动的因素全部纳入方程，这时相关关系也可转化为函数关系。另外，相关关系也具有某种变动规律，所以，相关关系也经常可以用一定的函数形式去近似地描述。

相关关系的种类

1. 按相关的程度分
   
2. 按相关的方向分
   
3. 按相关的形式分
   
4. 按相关的影响因素分
   

图示

三种相关系数

1. 皮尔逊相关系数（Pearson Correlation Coefficient）
   衡量两个连续变量之间的线性相关程度。
2. 斯皮尔曼秩相关系数（Spearman’s Rank Correlation Coefficient）
   衡量两个变量之间的单调关系，适用于非线性但单调的关联。
3. 肯德尔秩相关系数（Kendall’s Tau Coefficient）
   衡量两个变量之间的秩相关性，评估变量排序的一致性。

皮尔逊相关系数

公式：

取值范围：-1 到 1。
值为 1 表示完全正线性相关，值为 -1 表示完全负线性相关，值为 0 表示无线性相关。
适用条件：数据需要满足正态分布，且关系为线性。

|r|的范围在0.1-0.3是微弱相关
|r|的范围在0.3-0.5是低度相关
|r|的范围在0.5-0.8是显著相关
|r|的范围在0.8以上是高度相关

皮尔逊相关系数也等于协方差和标准差的比值



皮尔逊相关系数也可以写成以下两种形式：

或

皮尔逊相关系数的性质
样本数据点精确的落在直线上，则相关系数等于1或-1
使用原始数据的值进行计算，易受异常值影响
对称性：corr（X，Y）=corr（Y，X）
把X移动到a+bX和把Y移动到c+dY，并不会改变两个变量的相关系数绝对值

斯皮尔曼秩相关系数

公式：

用于度量两个变量的单调关系，而不要求线性关系。它基于变量的秩（排名）而非原始值。
与皮尔逊相关系数一样，取值-1到1之间

斯皮尔曼秩相关系数性质

1. 适用于非线性但单调的关系
2. 对离群值不敏感

下面是一个例子：

肯德尔秩相关系数

通过计算数据点对之间的一致性来衡量两个变量的相关性

• 与皮尔逊相关系数一样，取值-1到1之间
• 对异常值的敏感度较低

下面是一个肯德尔秩相关系数的例子：

三种相关系数的关系

应用

图像质量评价方法评价

SSIM（结构相似性指数，Structural Similarity Index Measure）是一个用于衡量两幅图像相似度的指标，常用于图像质量评价。