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高等数学学习笔记 ☞ 函数的极限

article 2025/3/1 16:03:33

1. 函数的极限定义

备注：已知坐标轴上一点 $x_{0}$ ，则：

①： $x_{0}$ 的邻域：指 $x_{0}$ 附近的开区间，记作 $U(x_{0})$ 。

②： $x_{0}$ 的去心邻域：指 $x_{0}$ 附近的开区间，但不包含 $x_{0}$ ，记作 $\overset{o}{U}(x_{0})$ 。

③： $x_{0}$ 的 $\delta$ 邻域：存在 $\delta>0$ ，那么 $(x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta )$ 就是 $x_{0}$ 的 $\delta$ 邻域，记作 $U(x_{0},\delta )$ 。

④： $x_{0}$ 的去心 $\delta$ 邻域：存在 $\delta>0$ ，那么 $(x_{0}-\delta ,x_{0} )\cup (x_{0},x_{0}+\delta)$ 就是 $x_{0}$ 的去心 $\delta$ 邻域，记作 $\overset{o}{U}(x_{0},\delta )$ 。

1. 当 $x\rightarrow x_{0}$ 时的极限：

（1）定义：已知函数 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 的某去心邻域内有定义，存在常数 $A$ ，对于任意的 $\varepsilon (\varepsilon >0)$ (很小的一个数)，若存在 $\delta (\delta >0)$ ，

当 $0<|x-x_0{}|<\delta$ ,即 $x\in (x_{0}-\delta ,x_{0} )\cup (x_{0},x_{0}+\delta)$ 时，有 $|f(x)-A|<\varepsilon$ ,即 $A-\varepsilon <f(x)<A+\varepsilon$ ，

【解释：也就是当变量x属于区间内时，函数f(x)的值都落在某区间内】

那么称A为函数 $f(x)$ 的极限，记作 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=A$ 。

备注：

①： $x\rightarrow x_{0}$ 的含义：指的是 $x$ 无限接近于 $x_{0}$ ，但永远不等于 $x_{0}$ 。
②： $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=A$ 的含义：指的是当 $x\rightarrow x_{0}$ 时，函数 $f(x)$ 的值无限接近于 $A$ 。
③：函数的极限研究的是当 $x\rightarrow x_{0}$ 过程中，函数 $f(x)$ 的值的变化趋势，与函数 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 处有无定义没有关系。

④： $\delta$ 的取值与 $\varepsilon$ 有关，且 $\delta$ 不唯一。也就是说，任意给一个 $\varepsilon$ 就会有一个 $\delta$ 与之对应，这一点和数列的极限中的 $N$ 是一样的。

⑤：证明函数的极限，根据函数的极限的定义可知，关键点就在于找到 $\delta$ 的值，若要找 $\delta$ 的值，出发点就在于

当 $0<|x-x_0{}|<\delta$ 时，不等式 $|f(x)-A|<\varepsilon$ 是否成立。

（2）左极限与右极限：

①：左极限：已知函数 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 的某去心邻域内有定义，存在常数 $A$ ，对于任意的 $\varepsilon (\varepsilon >0)$ (很小的一个数)，若存在 $\delta (\delta >0)$ ，

当 $x_{0}-\delta <x<x_{0}$ 时，有 $|f(x)-A|<\varepsilon$ ,即 $A-\varepsilon <f(x)<A+\varepsilon$ ，

那么称A为函数 $f(x)$ 的左极限，记作 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_{0}^{-}}f(x)=A$ 。

②：右极限：已知函数 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 的某去心邻域内有定义，存在常数 $A$ ，对于任意的 $\varepsilon (\varepsilon >0)$ (很小的一个数)，若存在 $\delta (\delta >0)$ ，

当 $x_{0} <x<x_{0}+\delta$ 时，有 $|f(x)-A|<\varepsilon$ ,即 $A-\varepsilon <f(x)<A+\varepsilon$ ，

那么称A为函数 $f(x)$ 的右极限，记作 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_{0}^{+}}f(x)=A$ 。

备注：

①： $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)$ 存在 $\Leftrightarrow$ $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_{0}^{-}}f(x)$ ， $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_{0}^{+}}f(x)$ 都存在且相等。

②：对于分段函数而言，会涉及到左极限与右极限的讨论。

2. 当 $x\rightarrow \infty$ 时的极限：

（1）定义：已知函数 $f(x)$ 在 $|x|$ 大于某一正数时有定义,存在常数 $A$ ,对于任意的 $\varepsilon (\varepsilon >0)$ (很小的一个数),若存在 $X (X >0)$ ,

当 $|x|>X$ 时,有 $|f(x)-A|<\varepsilon$ ,即 $A-\varepsilon <f(x)<A+\varepsilon$ ,那么称A为函数 $f(x)$ 的极限,记作 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=A$ .

备注： $x\rightarrow \infty$ 包含了 $x\rightarrow +\infty$ 和 $x\rightarrow -\infty$ 。

（2）左极限与右极限：

①：左极限：已知函数 $f(x)$ 在 $|x|$ 大于某一正数时有定义,存在常数 $A$ ,对于任意的 $\varepsilon (\varepsilon >0)$ (很小的一个数),若存在 $X (X >0)$ ,

当 $x<-X$ 时,有 $|f(x)-A|<\varepsilon$ ,即 $A-\varepsilon <f(x)<A+\varepsilon$ ,那么称A为函数 $f(x)$ 的极限,记作 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=A$ .

②：左极限：已知函数 $f(x)$ 在 $|x|$ 大于某一正数时有定义,存在常数 $A$ ,对于任意的 $\varepsilon (\varepsilon >0)$ (很小的一个数),若存在 $X (X >0)$ ,

当 $x>X$ 时,有 $|f(x)-A|<\varepsilon$ ,即 $A-\varepsilon <f(x)<A+\varepsilon$ ,那么称A为函数 $f(x)$ 的极限,记作 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)=A$ .

备注：

①： $\displaystyle\lim_{x\rightarrow \infty }f(x)$ 存在 $\Leftrightarrow$ $\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)$ ， $\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)$ 都存在且相等。

②：对于分段函数而言，会涉及到左极限与右极限的讨论。

2. 函数的极限性质

（1）唯一性：若函数 $f(x)$ 的极限存在，那么函数 $f(x)$ 的极限是唯一的。

（2）局部有界性：已知函数 $f(x)$ 的极限是存在的，若存在正数 $M(M>0)$ ，使得在 $x_{0}$ 的某去心邻域内，有 $|f(x)|\leq M$ ，

则称函数 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 的某去心邻域内是有界的。

（3）局部保号性：

①：已知函数 $f(x)$ 的极限是存在的，当 $A>0(A<0)$ 时，那么在 $x_{0}$ 的某去心邻域内， $f(x)>0(f(x)<0)$ 。

②：已知函数 $f(x)$ 的极限是存在的，当在 $x_{0}$ 的某去心邻域内 $f(x)\geq 0(f(x)>0)$ ，则 $A\geq 0$ 。

③：已知函数 $f(x)$ 的极限是存在的，当在 $x_{0}$ 的某去心邻域内 $f(x)\leq 0(f(x)< 0)$ ，则 $A\leq 0$ 。

3. 函数的极限与数列的极限

1. 区别：函数极限的逼近与数列极限的逼近特性不同，即函数可以连续的左右逼近一个点，而数列只能离散的左右逼近一个点。

2. 关系：若函数 $f(x)$ 的极限存在，即 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=A$ ，则数列 $\left \{ x_{n} \right \}$ 的函数值数列极限存在，且为 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }f(x_{n})=A$ ，反之是错误的。