【数学建模笔记】评价模型-基于熵权法的TOPSIS模型

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本系列文章和课程一样，只使用Python实现，好久没玩数学建模了
国赛中不能再用TOPSIS，可以做辅助算法。

1. 算法原理

熵权TOPSIS方法是一种结合熵权法和TOPSIS的决策分析模型。

1. 首先使用熵权法确定各指标的权重；
2. 然后采用TOPSIS方法对备选防范进行评价和排序。

（可以把TOPSIS换成别的评价方法，或者赋权重方法换成不是熵权法的方法，比如随机森林，也可以在TOPSIS之前聚个类）

1.1 熵权法（Entropy Weight Method）

熵权法基于信息熵理论，用于计算决策指标的权重。信息是可以反映指标值分布的均匀性，信息熵越大，指标值的分布越均匀，其所含信息越少，相应的权重也越小。

1.1.1 标准化处理

设有$m$个评价对象，$n$个评价指标。原始数据矩阵为$\mathbf{X}=[x_{ij}]$，其中$x_{ij}$表示第$i$个评价对象在第$j$个指标上的表现，标准化后的数据矩阵$\mathbf{R}=[r_{ij}]$可通过以下公式得到：
$$r_{ij}=\frac{x_{ij}}{\sqrt{\sum _{i=1}^m{x}_{ij}^2}}$$
需要统一量纲，进行标准化处理，要不然算法不容易收敛。

1.1.2 计算熵值$e_j$

• $p_{ij}=\frac{r_{ij}}{\sum _{i=1}^m{r}_{ij}}$
• $e_j=-k\sum _{i=1}^m{p}_{ij}\log \left(p_{ij}\right)$，其中$k=\frac{1}{\log m}$，如果$p_{ij}=0$，则$p_{ij}\log (p_{ij})=0$.

1.1.3 计算权重$w_j$

• $d_j=1-e_j$
• 求出权重$w_j=\frac{d_j}{\sum _{j=1}^n{d}_j}$

1.2 TOPSIS方法

TOPSIS是一种基于距离的方法，用于评估和选择最佳方案。方法是通过计算每个方案与理想最优解（正理想解）和最差解（负理想解）的距离来进行排序。

1.2.1 计算加权标准化决策矩阵

计算加权标准化决策矩阵$\mathbf{V}=[v_{ij}]$：$v_{ij}=w_j\cdot r_{ij}$.

1.2.2 确定正理想解${\mathbf{A}}^{+}$和负理想解${\mathbf{A}}^{-}$

正理想解是解中更好的部分，负理想解是解中更差的部分。
$$\begin{gathered} A^{+}=(\underset{i\le m}{\max }{v}_{ij}，对于利益型指标；\underset{i\le m}{\min }{v}_{ij}，对于成本型指标) \\ {A}^{-}=(\underset{i\le m}{\min }{v}_{ij}，对于利益型指标；\underset{i\le m}{\max }{v}_{ij}，对于成本型指标) \end{gathered}$$
算法的终极目的是越靠近好的越远离差的。利益型指标是越大越好，成本型指标是越小越好。不一定非要利益型或者成本型，有时候要选择没有波动性值……可以在这儿改进。

1.2.3 计算方案与正负理想解的距离

• $S_i^{+}=\sqrt{\sum _{j=1}^n{\left(v_{ij}-A_j^{+}\right)}^2}$；
• $S_i^{-}=\sqrt{\sum _{j=1}^n{\left(v_{ij}-A_j^{-}\right)}^2}$.

算的是和最高分有多接近，与最低分有多接近，这也就是正负理想解的距离。

1.2.4 计算相似度$C_i$

$$C_i=\frac{S_i^{-}}{S_i^{+}+S_i^{-}}$$
方案按$C_i$值降序排序，$C_i$值越大，方案越优。

1.3 实例说明

多个指标可以进行降维