【苏德矿高等数学】第1讲：有界函数、无界函数、复合函数

我还是喜欢高数，虽然已经是硕士在读了，但是我还是想再学一遍高数，学高数放松放松（汗流浃背了），笔记就是按视频顺序来的，随缘记录，其实我只是想用学习数学掩盖自己的一些情绪，在最近的生活中，我喜欢上了一个女生，这就导致我出现了一些抽象的焦虑情绪，所以我学数学来缓一缓……（数学对我来说是一种“参禅悟道”）
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1. 函数

函数是微积分的研究对象。

1.1 有界函数

在有限的区间上，左端点记为$N$，右端点记为$M$

1.1.1 下界与上界

【定义】设$y=f(x),x\in \mathbf{D}$，$\exists$常数$N⩽M$（$\exists$表示存在的意思），$\forall x\in \mathbf{D}$，都有$N⩽f(x)⩽M$（$\forall$表示任给一切），称$f(x)$是$\mathbf{D}$上的有界函数，$N$称为$f(x)$的一个下界（下界有无数个，因为比$N$小的数都是它的下界，比$N$大的数可能是它的下界可能也不是它的下界），最大的下界称为下确界，$M$就称为$f(x)$的一个上界（同理上界也有无数个，比$M$大的有无数个都是它的上界，比$M$小的数也可能是它的上界），最小的上界称为上确界。

1.1.2 有下界函数

$\exists$常数$N$，$\forall x\in \mathbf{D}$，都有$N⩽f(x)$，称$f(x)$为有下界函数。

1.1.3 有上界函数

$\exists$常数$M$，$\forall x\in \mathbf{D}$，都有$f(x)⩽M$，称$f(x)$为有上界函数。

1.1.4 有界函数的几何意义

平面上存在两条直线$y=N,y=M$，函数曲线在这连个直线之间（限制住了）。

1.1.5 有下界函数的几何意义

存在直线$y=N$，函数曲线在该直线的上方。

1.1.6 有上界函数的几何意义

存在直线$y=M$，函数曲线在该直线的下方。

1.1.7 函数有界的定义

【定义】$\exists$常数$M>0$，$\forall x\in \mathbf{D}$都有$|f(x)|⩽M\iff -M⩽f(x)⩽M$，称$y=f(x)$在$\mathbf{D}$上有界。

【补充，绝对值不等式】$|a\pm b|⩽|a|+|b|$

【例1】证明$f(x)={\sin }^{80}x-6co{s}^{60}2x$有界。
【证】由题意可知，$f(x)$的定义域为$\mathbb{R}$，
$|f(x)|=|{\sin }^{80}x-6co{s}^{60}2x|⩽|{\sin }^{80}x|+|6co{s}^{60}2x|={\sin }^{80}x|+6|co{s}^{60}2x|⩽1+6=7$
则$f(x)$有界。


【补充不等式】

• $a^2+b^2⩾2ab,ab⩽\frac{1}{2}(a^2+b^2)$，若$a>0,b>0,\frac{a+b}{2}⩾\sqrt{ab}$
• 更一般地，还有$n$个元素的此种不等式：$\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}⩾\sqrt[n]{a_1{a}_2\cdots a_n}$.

【例2】证明$f(x)=\frac{x}{1+x^2}\sin x$有界。
【证】由题意可知，$f(x)$的定义域为$\mathbb{R}$.
$\forall x\in \mathbb{R},|f(x)|=\frac{|x|}{1+|x{|}^2}|\sin x|=\frac{|x|\cdot 1}{1+|x{|}^2}|\sin x|⩽\frac{|x|\cdot 1}{1+|x{|}^2}⩽\frac{\frac{1}{2}(|x{|}^2+1)}{1+|x{|}^2}=\frac{1}{2}$
从而$f(x)$在$\mathbb{R}$上是有界函数。
【注】此题用到的不等式是变种的$a^2+b^2⩾2ab\iff \frac{1}{2}(a^2+b^2)⩽ab$

1.2 无界函数

数学中经常用到的对立面的词语（反证法常用）：

• $\forall$的对立面是$\exists$
• $\exists$的对立面是$\forall$
• $>$的对立面是$⩽$

1.2.1 无界函数

【定义】$\forall M>0$，$\exists x_M\in \mathbf{D}$，但是$|f(x)|>M$，则称$f(x)$是$\mathbf{D}$上的无界函数。


【例3】证明$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$在$(0,1]$上是无界函数。
【证】（分析法：要证B成立，只要A成立，指的是$A\Rightarrow B$，即A成立是B成立的充分条件。）$\forall M>0$，若要$|f(x)|>M$成立$\iff |\frac{1}{\sqrt{x}}|>M\iff \frac{1}{\sqrt{x}}>M\iff \frac{1}{x}>M^2\iff 0<x<\frac{1}{M^2}$且$0<x⩽1$，取$x=\frac{1}{(M+1{)}^2}\in (0,1],0<x<\frac{1}{M^2}$，有$|f(x)|>M$，知$f(x)$在$(0,1]$上是无界的。
【注】取$x=\frac{1}{(M+1{)}^2}$是因为$(M+1{)}^2>1,M>0$，此时分母大于1，分子为1，整个分式一定小于1，则$0<x=\frac{1}{(M+1{)}^2}<1$，又因为$(M+1{)}^2>M^2$，分母大，整个分式就小了，则$0<x=\frac{1}{(M+1{)}^2}<\frac{1}{M^2}$，所以两个条件均满足。

1.3 复合函数

$\mathbf{D}$是指定义域，$\mathbf{R}$是指值域。
【定义】$y=f(u),u\in \mathbf{D}(f)$，$u=\phi (x),u\in \mathbf{R}(\phi )$且$\mathbf{D}(f)\cap \mathbf{R}(\phi )\ne \varnothing$，则称$y=f(\phi (x))$为$x$的复合函数。

• 由$\mathbf{D}(f)\cap \mathbf{R}(\phi )\ne \varnothing$，则$\exists u_0\in \mathbf{D}(f)\cap \mathbf{R}(\phi )\Rightarrow u_0\in \mathbf{R}(\phi )$，$\exists x_0$，使得$u_0=\phi (x_0),u_0\in \mathbf{D}(f)$，$u_0\in \mathbf{D},\exists y_0$使得$y_0=f(u_0)\Rightarrow y_0=f(\phi (x_0))$，此时$x$称为自变量，$y$称为因变量，$u$称为中间变量，$f(u)$称为外层函数或简称为外函数，$\phi (x)$称为内层函数或简称为内函数。

【反例】$y=\sqrt{u},u=-(1+x{)}^2\Rightarrow y=\sqrt{-(1+x^2)}$，定义域是空集（没有意义），所以复合函数不能是定义域与值域随便复合（微积分都是在实数范围内讨论）。