秩为1的矩阵可以表示为两个向量的外积
秩为1的矩阵可以表示为两个向量的外积，为什么
秩为 1 的矩阵可以表示为两个向量的外积，原因源于矩阵的线性代数性质。以下是详细的解释：
1. 矩阵的秩定义
- 矩阵的秩是矩阵列向量（或行向量）线性无关的最大个数。
- 当矩阵的秩为 1 时，所有列向量（或行向量）都可以表示为某一个非零向量的线性组合。
2. 外积定义
两个向量
u
∈
R
m
\mathbf{u} \in \mathbb{R}^m
u∈Rm 和
v
∈
R
n
\mathbf{v} \in \mathbb{R}^n
v∈Rn 的外积定义为一个
m
×
n
m \times n
m×n 的矩阵：
A
=
u
v
⊤
\mathbf{A} = \mathbf{u} \mathbf{v}^\top
A=uv⊤
其中
A
i
j
=
u
i
v
j
\mathbf{A}_{ij} = u_i v_j
Aij=uivj，即矩阵的每个元素是
u
\mathbf{u}
u 和
v
\mathbf{v}
v 的对应元素相乘得到。
3. 外积矩阵的秩
外积矩阵 A = u v ⊤ \mathbf{A} = \mathbf{u} \mathbf{v}^\top A=uv⊤ 的秩为 1，原因如下：
-
矩阵 A \mathbf{A} A 的列是向量 u \mathbf{u} u 的线性组合：
- 第 j j j 列为 u v j \mathbf{u} v_j uvj，即所有列都是 u \mathbf{u} u 按比例缩放得到的。
- 因此，所有列向量都线性相关，矩阵的列空间维数为 1。
-
类似地，矩阵 A \mathbf{A} A 的行是向量 v \mathbf{v} v 的线性组合：
- 第 i i i 行为 v u i \mathbf{v} u_i vui，所有行都线性相关，行空间维数也为 1。
综上，矩阵 A \mathbf{A} A 的秩为 1。
4. 反向证明
当矩阵的秩为 1 时，也可以反推出它可以表示为两个向量的外积：
设矩阵 A ∈ R m × n \mathbf{A} \in \mathbb{R}^{m \times n} A∈Rm×n 满足 rank ( A ) = 1 \text{rank}(\mathbf{A}) = 1 rank(A)=1：
-
秩为 1 意味着矩阵的所有列向量是某个非零向量 u ∈ R m \mathbf{u} \in \mathbb{R}^m u∈Rm 的线性组合：
A = [ u α 1 , u α 2 , … , u α n ] \mathbf{A} = [\mathbf{u} \alpha_1, \mathbf{u} \alpha_2, \ldots, \mathbf{u} \alpha_n] A=[uα1,uα2,…,uαn]
其中 α j ∈ R \alpha_j \in \mathbb{R} αj∈R 表示第 j j j 列的缩放比例。 -
提取 u \mathbf{u} u，将列向量的线性组合形式转换为矩阵形式：
A = u [ α 1 , α 2 , … , α n ] \mathbf{A} = \mathbf{u} [\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n] A=u[α1,α2,…,αn]
定义 v = [ α 1 , α 2 , … , α n ] ⊤ \mathbf{v} = [\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n]^\top v=[α1,α2,…,αn]⊤，于是：
A = u v ⊤ \mathbf{A} = \mathbf{u} \mathbf{v}^\top A=uv⊤
因此，秩为 1 的矩阵可以写成两个向量 u \mathbf{u} u 和 v \mathbf{v} v 的外积。
5. 具体例子
考虑一个
3
×
3
3 \times 3
3×3 的秩为 1 的矩阵：
A
=
[
2
4
6
1
2
3
3
6
9
]
\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix}
A=
213426639
验证秩：
矩阵行之间存在线性相关关系：
第 2 行
=
1
2
×
第 1 行
,
第 3 行
=
3
2
×
第 1 行
\text{第 2 行} = \frac{1}{2} \times \text{第 1 行}, \quad \text{第 3 行} = \frac{3}{2} \times \text{第 1 行}
第 2 行=21×第 1 行,第 3 行=23×第 1 行
因此，矩阵的秩为 1。
写成外积形式：
选择
u
=
[
2
1
3
]
\mathbf{u} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix}
u=
213
，选择
v
=
[
1
2
3
]
\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}
v=
123
，则：
A
=
u
v
⊤
=
[
2
1
3
]
[
1
2
3
]
=
[
2
4
6
1
2
3
3
6
9
]
\mathbf{A} = \mathbf{u} \mathbf{v}^\top = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix}
A=uv⊤=
213
[123]=
213426639
6. 结论
- 秩为 1 的矩阵的列空间和行空间都是 1 维，矩阵可以通过两个向量的外积表示。
- 这种表示形式揭示了矩阵的低秩结构。