MATLAB遗传算法求解函数最大值
一、遗传算法基础知识
视频链接： 【超容易理解】手把手逐句带你解读并实现遗传算法的MATLAB编程（结合理论基础）_哔哩哔哩_bilibili 遗传算法的操作: 使用“适者生存”的原则，在遗传算法的每一代中，根据个体在问题域的适应度值和从生物学借鉴来的再造方法(复制、变异、交叉)进行个体选择，产生比原个体更适应环境的近似解。
模式定理:二值字符集(0，1}，由此产生通常的 0，1字符串。增加一个通配符“*”，既可以做 1，也可以做 0。二值字符集{0，1}可以扩展为三值字符集{0，1，*}，由此可以产生 0010，001*，*11*01*这类的字符串。
遗传算法的本质:是对模式所进行的一系列运算。通过选择操作将当前群体中的优良群体遗传到下一代群体中，通过交叉操作进行模式的重组，通过变异操作进行模式的突变通过这些遗传运算，一些较差的模式逐步被淘汰，而一些较好的模型逐渐被遗传和进化最终就可以达到问题的最优解:← 多个字符串隐藏着多个不同的模式，长度为L的字符串，隐藏着个不同的模式，不同的模式所匹配的字符串个数不同，引入模式阶。
模式阶:模式 001*0*的阶数为 4，而 0*****的阶数为 1，说明一个模式阶数高，说明确定性越高，样本个数越少。
定义距:在模式 H中第一个确定位置和最后一个确定位置之间的距离,称之为模式距。
在遗传算法的选择、交叉、变异算子的作用下，具有低阶，短定义距，并且平均适应度高于群体平均适应度的模式在子代将呈指数级增长，最终趋向全局的最优点。“
遗传算法使用群体搜索技术，通过对当前种群施加选择、交叉、变异等一系列遗传操作产生新一代种群，并逐步使种群进化到包含近似最优解的状态。
二进制编码精度:←For Example 求取实数区间[0,4]上函数的最大值，传统的方法是不断调成自变量本身，直到获取函数的最大值，而遗传算法不对参数本身做调整，首先先编码，形成位串在对位串进行进化操作。【0，64】←我们可以由长度为 6的位串表示变量 x，从“000000”到“111111”并将中间的取值映射到实数区间[0,4]，每个相邻的值之间的阶跃值为 4/63=0.0635。也就是编码精度。精度高，解的质量高，计算量大，耗时长。
适应度:生物种群个体适应生存环境的能力，用于评价个体优劣的数学函数。GA 算法在进化搜索中基本不需要外部信息，仅仅依靠适应度。←
构造适应度函数的方法:目标函数映射成适应度函数（常用）、基于序的目标函数等等。
“遗传操作是优选强势个体的“选择”(选择算子)，个体间交换基因产生新个体的“交叉(交叉算子)，个体基因突变而产生新个体的“变异”(变异算子)。←
选择算子:根据个体适应度，按照一定规则，从第t代群体P(t)中选择优良个体遗传到下一代 P(t+1)中。
轮盘赌选择法:
它是基于比例的选择，利用个体适应度所占比例的大小来决定子代保留的可能性。若每
个个体i的适应度为 fi，种群大小为 NP，则他被选取的概率为:←
个体适应度越大，被选择的机会越大，为了选择交叉个体，需要进行多轮选择，每一轮产生一个[0,1]均匀随机数，将该随机数作为选择指针来确定被选择个体。
交叉算子:将群体 P(t)中选中的各个个体随机搭配，对每一对个体以交叉概率 Pc 交换他们的染色体，通过交叉，遗传算法的搜索能力得以飞跃提高。
交叉算子步骤:从交配池中随机取出要交配的一对个体，然后，根据串长度L，对要交配的一对个体，对要交配的一对个体，随机选取[1,L-1]中的一个或者多个整数K作为交叉位置，最后，根据交叉概率实施交叉操作，配对个体在交叉位置处，相互交换各自的部分基因，从而形成新的一对个体。
变异算子:对群体中的每个个体，以变异概率Pm,将某一个或某一些基因座上的基因值17.改变为其他的等位基因值，0-1，1-0 根据个体编码方式的不同，变异方式有:实值变异(对相应的基因值用取值范围内的其他随机值取代)，二进制变异(对应的基因取反)。←
变异算子步骤:首先，对种群中所有个体按事先设定的变异概率判断是否进行变异，然后，对进行变异的个体随机选择变异位进行变异。
标准遗传算法:优化变量由二进制算法进行描述，多个优化变量的二进制变化串接在一起组成染色体。在创建初始群体的过程中，代表个体的二进制串是在一定字长的限制下随机产生的，交叉算子作用在交叉概率选中的两个染色体上，随机选中交叉位置，将两个染色体上对应于这两个位置上的二进制数值进行交换，生成新的个体，而变异算子的作用在变异概率随机选中的个体上，一般是随机选定变异位，将该位的二进制值取反，生成一个新的个体。
二、遗传算法的流程
初始化:设置进化代数计数器 g=0,最大迭代数G,随机生成 NP个个体作为初始群体P(0);个体评价:计算群体P(t)中各个个体的适应度;
选择操作:将选择算子应用于群体，根据个体适应度满招一定的原则将优良个体传递给下-代群体。
交叉运算:将交叉算子应用于群体，对选中的个体以某一概率交换他们之间部分的染色体产生新的个体;
变异运算:将变异算子应用于群体，对选中的个体，以某一种概率改变某一个基因值为他的等位基因。
循环操作:群体 P(t)经过选择、交叉、变异运算后得到下一代种群P(t+1)，计算适应度值根据适应度进行排序，准备进行下一次变异操作。“终止判断条件:如果 g<G，则 g=g+1，转到个体评价步骤，如果 g>G,则次进化过程中所得到的具有最大适应度的个体作为最优解输出，终止计算。“
三、关键参数说明
种群规模 NP:影响着种群的最终结果以及遗传算法的执行效率，NP 一般取 10~200;
交叉概率 Pc:交叉操作的使用频率，一般取 0.25~14
变异概率 Pm:辅助性搜索操作，一般取 0.001~0.14
终止进化代数:一般取 100~1000 之间。
四、实例分析
MATLAB代码：
clear ;
close all;
clc;
%% 函数图像显示
x1 = 0:0.01:10;
plot(x1,func1(x1))
xlabel("x")
ylabel("f(x)")
title("f(x)= x+10*sin(5*x)+7*cos(4*x)")
%% 使用遗传算法求函数y = x+10*sin(5*x)+7*cos(4*x) 最大值
NP = 50; %种群数量
L = 20; %二进制数串长度
Pc=0.8; %交叉率
Pm=0.1; %变异率
G=100; %最大遗传代数
Xs=10; %上限
Xx=0; %下限
f=randi([0,1],NP,L) ;%机获得初始种群规模:f= randi([区间下限，区向上限],种群规模,编码长度
%% 遗传算法循环
for k=1:G
%% 将二进制解码为定义域范围内十进制
for i=1:NP
U=f(i,:); %第一条染色体
m=0;
for j=1:L
m=U(j)*2^(j-1)+m; %将每个样本由二进制转变为十进制
end
x(i)=Xx+m*(Xs-Xx)/(2^L-1); %将染色体解码到定义城
Fit(i) = func1(x(i)); %计算每个样本的适应度
end
maxFit=max(Fit); %最大值
minFit=min(Fit); %最小值
rr=find(Fit==maxFit); %最大值在Fit数组中的位置，返回一个数组.
fBest=f(rr(1,1),:); %历代最优个体
xBest=x(rr(1,1)); %最优适应度对应的染色体
Fit=(Fit-minFit)/(maxFit-minFit);%归化适应度值
%% 复制操作 （基于轮盘赌)
sum_Fit=sum(Fit); %计算种群中所有群近应值的和
fitvalue=Fit./sum_Fit; %计算每个种群的选择概率
fitvalue=sum(fitvalue); %计算每个种群的累计概率
ms= sort(rand(NP,1)); %随机生成_(0,1)的有序概率密度NP大小向量,对生成的随机数进行升序排序
fiti=1;
newi=1;
while newi<=NP %这是一种随机的复制方式，但总趋势是将适应度比较大的造传下去
if ms(newi)<fitvalue(fiti) %随机新种牂概率 < 种群选择概率
nf(newi,:)= f(fiti,:); %新种群的第newi行=此次选择的种牂
newi= newi+1;
else
fiti=fiti+1;
end
end
%% 交叉操作 （基于概率）
for i=1:NP-1
p=rand ; %随机生成一个[0,1]的概率p
if p<Pc %控制交叉的染色体总数
q=randi([0,1],1,L); %随机生成要交叉的基因位置
for j=1:L
if q(j)== 1 %f 此点f中值为1
temp=nf(i+1,j); %记录此时选择过程中的新种群第i+1行。k列的值
nf(i+1,j)=nf(i,j); %新种群第i+1行。k列的值=新种群第i行。k列的值
nf(i,j)=temp; %新种群第i行，k列的值=上面记录的值,即两条相邻染色体在指定位置进行交叉
end
end
end
end
%% 变异操作（基于概率）
i=1;
while i<=round(NP*Pm) %控制变异染色体总数
h=randi([1,NP],1,1); %随机选取一个需要变异的染色体
for j= 1:round(L*Pm) %控制变异染色体总数
g=randi([1,L],1,1); %随机需要变异的某因数
nf(h,g)=~nf(h,g);
end
i=i+1;
end
f=nf; %新一代种群
f(1,:)=fBest; %保留最优个体在新种群中
trace1(k)=maxFit; %历代最优适应度
trace2(k)=mean(Fit); %平均适度值
trace3(k)=minFit; %最小值
end
%% 迭代过程图形化展示
xBest;
figure
hold on
plot(1:k,trace1(1:k),'r') %历代最优适应度
% plot(1:k,trace2(1:k),'b') %平均适度值
% plot(1:k,trace3(1:k),'g') %最小值
title('最优个体适应度','fontsize',12);
xlabel('进化代数','fontsize',12);
ylabel('适应度','fontsize',12);
legend('最大值','平均适应值','最小值')
%% 保存为GIF
frame= getframe(gcf);
imind= frame2im(frame);
[imind,cm]=rgb2ind(imind,256);
if i==1
imwrite(imind,cm,'Z1.gif','gif','Loopcount',inf,'DelayTime',0);
else
imwrite(imind,cm,'Z1.gif','gif','WriteMode','overwrite','DelayTime',0);
end
%% 结果打印
fprintf('最优个体编码：\n')
disp(fBest)
% 每次迭代最优值
fprintf('每次迭代最优值：\n')
disp(trace1)
% 每次迭代的平均适应度值
fprintf('每次迭代的平均适应度值：\n')
disp(trace2)
% 每次迭代的最差值
fprintf('每次迭代最差值：\n')
disp(trace3)
function y = func1(x)
%% 多极值函数
% x= 7.86 f(x)max=24.8534
y = x+10*sin(5*x)+7*cos(4*x);
end