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【算法】数论基础——约数个数定理、约数和定理 python

article 2025/1/29 8:38:16

前置知识

需要掌握：唯一分解定理（算术基本定理）

约数

约数，即因数，定义为：
如果一个整数a可以被另一个整数b整除（即 a mod b = 0),那么b就是a的一个约数。

约数个数定理

假设有一个正整数，它可以进行质因数分解为：

在这里插入图片描述

其中p1,p2,······,Pk是不同的质数，而e1,e2,······,ek是对应的指数。
根据约数个数定理，n的正约数个数d(n)可以通过以下公式计算：
d(n)=(e1+1)×(e2+1)×······×(ek+1)

公式怎么得来？

解释：（组合数学乘法原理）
每个质因数 pi 可以在约数中出现从 0 到 ei 次，因此有 ei+1 种选择。
所有这些选择相互独立，因此总的约数个数就是所有质因数的不同选择方式的乘积。

拿数字举几个实例：

在这里插入图片描述

约数和定理

求所有约数的和：

在这里插入图片描述

好了，实际运用的时候到了

实战演练

阶乘约数 https://www.lanqiao.cn/problems/1020/learning/?page=1&first_category_id=1&problem_id=1020

在这里插入图片描述

思路分析：

可以借助唯一分解定理和约数个数定理解决本题
将 100！转化为多个质数乘积的形式，（对2-100使用唯一分解定理即可）
再使用约数个数定理可得ans

题解code：

from collections import defaultdict

# 唯一分解定理
def prime_factors(n):
    factors = []
    for i in range(2, n + 1):
        while n % i == 0:
            factors.append(i)
            n //= i
        if n == 1:
            break
    return factors

# 计数
res = []
for i in range(2, 101):
    res += prime_factors(i)
cnt = defaultdict(int)
for i in res:
    cnt[i] += 1

# 约数个数定理
ans = 1
for i in cnt.values():
    ans *= (i + 1)
print(ans)