梯度下降优化算法-RMSProp

RMSProp（Root Mean Square Propagation）是一种自适应学习率的优化算法，旨在解决 AdaGrad 学习率单调递减的问题。RMSProp 通过引入衰减系数（decay rate），使得历史梯度平方和不会无限增长，从而更好地适应非凸优化问题。

1. RMSProp 的数学原理

1.1 AdaGrad 的问题回顾

AdaGrad 的核心思想是为每个参数分配自适应的学习率，其更新公式为：

$$G_t=G_{t-1}+g_t^2$$

$${\theta }_{t+1}={\theta }_t-\frac{\eta }{\sqrt{G_t+ϵ}}\cdot g_t$$

其中：

• $G_t$ 是历史梯度平方和的累积值。
• $\eta$ 是全局学习率。
• $ϵ$ 是一个很小的常数，用于避免分母为零。

AdaGrad 的问题是：

1. 学习率单调递减：由于 $G_t$ 是单调递增的，学习率会逐渐减小，可能导致训练后期学习率过小，收敛缓慢。
2. 内存开销较大：需要存储每个参数的历史梯度平方和。

1.2 RMSProp 的引入

RMSProp 通过引入衰减系数 $\gamma$，解决了 AdaGrad 学习率单调递减的问题。其核心思想是对历史梯度平方和进行指数加权移动平均（Exponential Moving Average, EMA），而不是简单累加。

1.3 RMSProp 的更新规则

RMSProp 的更新规则分为以下几个步骤：

1.3.1 梯度计算

首先，计算当前时刻的梯度：

$$g_t={\nabla }_{\theta }J({\theta }_t)$$

其中：

• $g_t$ 是当前时刻的梯度向量，形状与参数 ${\theta }_t$ 相同。

1.3.2 历史梯度平方和的指数加权平均

RMSProp 使用指数加权移动平均来计算历史梯度平方和：

$$E[g^2{]}_t=\gamma \cdot E[g^2{]}_{t-1}+(1-\gamma )\cdot g_t^2$$

其中：

• $E[g^2{]}_t$ 是历史梯度平方和的指数加权平均值。
• $\gamma$ 是衰减系数（decay rate），通常取值在 $[0.9,0.99)$ 之间。
• $g_t^2$ 表示对梯度向量 $g_t$ 逐元素平方。

注意：

• 初始时，$E[g^2{]}_0$ 通常设置为 0。

1.3.3 自适应学习率的计算

RMSProp 使用历史梯度平方和的指数加权平均值 $E[g^2{]}_t$ 来调整学习率。具体来说，学习率被调整为：

$$\text{学习率}=\frac{\eta }{\sqrt{E[g^2{]}_t+ϵ}}$$

其中：

• $\eta$ 是全局学习率。
• $ϵ$ 是一个很小的常数（通常为 $10^{-8}$），用于避免分母为零。
• $\sqrt{E[g^2{]}_t+ϵ}$ 是对历史梯度平方和的指数加权平均值逐元素开平方。

1.3.4 参数更新

最后，RMSProp 的参数更新公式为：

$${\theta }_{t+1}={\theta }_t-\frac{\eta }{\sqrt{E[g^2{]}_t+ϵ}}\cdot g_t$$

其中：

• $\frac{\eta }{\sqrt{E[g^2{]}_t+ϵ}}$ 是自适应学习率。
• $g_t$ 是当前时刻的梯度。

2. RMSProp 的详细推导

2.1 指数加权移动平均的意义

RMSProp 使用指数加权移动平均（EMA）来计算历史梯度平方和，其意义在于：

1. 最近梯度的影响更大：由于 $\gamma <1$，最近的梯度平方 $g_t^2$ 对 $E[g^2{]}_t$ 的影响更大。
2. 历史梯度的影响逐渐衰减：较早的梯度平方会随着时间步的增加而逐渐衰减。

这种机制使得 RMSProp 能够更好地适应非平稳目标函数（如非凸优化问题）。

2.2 衰减系数 $\gamma$ 的作用

衰减系数 $\gamma$ 控制历史梯度平方和的衰减速度：

• 当 $\gamma$ 较大时（如 0.99），历史梯度平方和的变化较慢，学习率调整较为平滑。
• 当 $\gamma$ 较小时（如 0.9），历史梯度平方和的变化较快，学习率调整较为敏感。

2.3 小常数 $ϵ$ 的作用

小常数 $ϵ$ 的作用是避免分母为零。具体来说：

• 当 $E[g^2{]}_t$ 很小时，$\sqrt{E[g^2{]}_t+ϵ}$ 接近于 $\sqrt{ϵ}$，避免学习率过大。
• 当 $E[g^2{]}_t$ 很大时，$ϵ$ 的影响可以忽略不计。

3. PyTorch 中的 RMSProp 实现

在 PyTorch 中，RMSProp 通过 torch.optim.RMSprop 实现。以下是 torch.optim.RMSprop 的主要参数：

3.1 使用 RMSProp 的代码示例

以下是一个使用 RMSProp 的完整代码示例：

import torch
import torch.nn as nn
import torch.optim as optim

# 定义一个简单的线性模型
model = nn.Linear(10, 1)

# 定义损失函数
criterion = nn.MSELoss()

# 定义优化器，使用 RMSProp
optimizer = optim.RMSprop(model.parameters(), lr=0.01, alpha=0.99, eps=1e-8, weight_decay=0.01)

# 模拟输入数据和目标数据
inputs = torch.randn(32, 10)  # 32 个样本，每个样本 10 维
targets = torch.randn(32, 1)  # 32 个目标值

# 训练过程
for epoch in range(100):
    # 前向传播
    outputs = model(inputs)
    loss = criterion(outputs, targets)

    # 反向传播
    optimizer.zero_grad()  # 清空梯度
    loss.backward()        # 计算梯度

    # 更新参数
    optimizer.step()       # 更新参数

    # 打印损失
    if (epoch + 1) % 10 == 0:
        print(f"Epoch [{epoch+1}/100], Loss: {loss.item():.4f}")

3.2 参数设置说明

1. 学习率 (lr)：

   • 学习率 $\eta$ 控制每次参数更新的步长。
   • 在 RMSProp 中，学习率会自适应调整，因此初始学习率可以设置得稍大一些。

2. 衰减系数 (alpha)：

   • 衰减系数 $\gamma$ 控制历史梯度平方和的衰减速度，通常取值在 $[0.9,0.99)$ 之间。

3. 小常数 (eps)：

   • 小常数 $ϵ$ 用于避免分母为零，通常设置为 $10^{-8}$。

4. 权重衰减 (weight_decay)：

   • 权重衰减系数用于 L2 正则化，防止过拟合。

5. 动量 (momentum)：

   • 如果大于 0，则使用动量法，进一步加速收敛。

6. 中心化 (centered)：

   • 如果设置为 True，则使用中心化的 RMSProp，计算梯度平方的均值。

4. 总结

• RMSProp 的核心思想：通过指数加权移动平均计算历史梯度平方和，自适应调整学习率。
• RMSProp 的更新公式：
  $$E[g^2{]}_t=\gamma \cdot E[g^2{]}_{t-1}+(1-\gamma )\cdot g_t^2$$
  $${\theta }_{t+1}={\theta }_t-\frac{\eta }{\sqrt{E[g^2{]}_t+ϵ}}\cdot g_t$$
• PyTorch 实现：使用 torch.optim.RMSprop，设置 lr、alpha、eps 等参数。
• 优缺点：
  • 优点：自适应学习率，适合非凸优化问题。
  • 缺点：需要手动调整衰减系数 $\gamma$。