群速度与相速度辨析
为了更好地理解什么是群速度，下面首先介绍光拍的概念。
一、光拍
1. 基本概念
两个在同一方向上传播的振动方向相同、振幅相等而频率相差很小的单色光波的叠加的结果将会产生“光拍”的现象，这里注意形成光拍的前提条件：
- 同一方向上传播
- 振动方向相同且振幅相同
- 频率相差很小
2. 推导过程
设角频率分别为 和
的两个单色光波沿
方向传播，它们的波函数为
将这两个光波叠加
应用和差化积公式
合成波可以写为
引入平均角频率 和平均波数
：
以及调制频率 和调制波数
：
故上式可化为
若令 ，上式又可以化为
表明合成波可以看作一个频率为 而振幅受到调制（合成波振幅随时间和位置在
和
之间变化）的波。
3. 性质分析
图 1 频率不同的两个单色波的叠加
图 1 表示了这样两个波的叠加情况，其中图 (a) 表示两个单色波，图 (b) 是合成波，图 (c) 是合成波振幅的变化曲线。由于光波的频率很高，若 ，则
，因而振幅
变化缓慢而场振动
变化极快（如图 (c) 和图 (b)）。
由于光强为光波振幅的平方，可知合成波的强度为
可见合成波的强度随时间和位置在 和
之间变化，如图 1(d) 所示，这种强度时大时小的现象称为拍。由上式可知拍频等于
，即等于振幅调制频率的两倍。
二、群速度和相速度
1. 定义
相速度：光波的等相面的传播速度
而群速度在不同频率单色波叠加时才有意义，即合成波才有意义。对于合成波
包含两种传播速度：等相面的传播速度和等幅面的传播速度。前者就是这个合成波的相速度，它可由位相不变条件（）求出：
而群速度是振幅恒值点的移动速度，即图 1(c) 所示的振幅调制包络的移动速度。我们考察调制包络的振幅最大点的移动速度：
- 设
时，两单色光波的波峰重合在
点，因此
- 在
时，由于两单光波传播速度不同，所以波峰在
点重合，
不难看出，合成波振幅最大点的传播速度（群速度）将不等于两个单色光波的相速度，也不等于合成波的相速度。
2. 推导过程
图 2 色散介质中的群速度和相速度
合成波的群速度可由振幅不变条件（）求出：
当 很小时，可以写成
其中 ，代入可得
3. 性质分析
上面推导出的群速度表达式很重要，需要牢记！
此式表示， 越大，即波的相速度随波长的变化越大时，群速度和相速度两者相差越大。
- 若
，即波长长的波比波长短的波相速度大（正常色散），群速度小于相速度；
- 若
（反常色散），群速度大于相速度。
对于无色散介质，，此时群速度等于相速度。
4. 原理推广
以上讨论的是两个频率相差很小的单色光波叠加而成的复杂波（波包）的群速度，可以证明，对于多个不同频率的单色光波合成的波包，只要各个波的频率相差不大，它们只集中在某一“中心”频率附近，同时介质的色散又不大，就仍然可以讨论波包的群速度问题，并且上面推导的群速度公式仍然适用。
已经指出，波包的群速度可以看成是振幅最大点的移动速度，而波动携带的能量与振幅的平方成正比，所以群速度可以认为是光能量或光信号的传播速度。在通常的利用光脉冲（光信号）进行光速测量的实验中，测量到的是光脉冲的传播速度，即群速度，而不是相速度。
三、习题训练
习题 1：
答案：
习题 2：
答案：
四、知识应用
利用 Lumerical MODE 或 FDTD Solutions 完成下面的问题：
问题 1：求出以下波导中基模的 TE 模和 TM 模光的群速度和相速度：
- 平板波导：220nm 厚，波长为 1550nm；
- 狭缝波导：500nm 宽的条形波导，中间有 150nm 宽的全刻蚀间隙。
问题 2：阐述为什么条形波导的群折射率通常随着波导宽度的增加而减小（如从 400nm 增加到 600nm）。
问题 3：设计一种在 1550nm 处群速度色散为零的波导。