力扣LeetCode: 1552 两球之间的磁力

题目：

在代号为 C-137 的地球上，Rick 发现如果他将两个球放在他新发明的篮子里，它们之间会形成特殊形式的磁力。Rick 有 n 个空的篮子，第 i 个篮子的位置在 position[i] ，Morty 想把 m 个球放到这些篮子里，使得任意两球间 最小磁力 最大。

已知两个球如果分别位于 x 和 y ，那么它们之间的磁力为 |x - y| 。

给你一个整数数组 position 和一个整数 m ，请你返回最大化的最小磁力。

示例 1：

输入：position = [1,2,3,4,7], m = 3
输出：3
解释：将 3 个球分别放入位于 1，4 和 7 的三个篮子，两球间的磁力分别为 [3, 3, 6]。最小磁力为 3 。我们没办法让最小磁力大于 3 。

示例 2：

输入：position = [5,4,3,2,1,1000000000], m = 2
输出：999999999
解释：我们使用位于 1 和 1000000000 的篮子时最小磁力最大。

提示：

• n == position.length
• 2 <= n <= 10^5
• 1 <= position[i] <= 10^9
• 所有 position 中的整数 互不相同 。
• 2 <= m <= position.length

解法：二分查找

解决思路

1. 排序：

   • 首先对 position 数组进行排序。排序后，我们可以更方便地计算任意两个篮子之间的距离。

   • 例如，position = [1, 2, 3, 4, 7]，排序后仍然是 [1, 2, 3, 4, 7]。

2. 二分查找：

   • 我们需要找到最大的最小磁力。最小磁力的范围是从 0 到 maxDistance，其中 maxDistance 是排序后数组中最后一个位置与第一个位置的差。

   • 例如，position = [1, 2, 3, 4, 7]，maxDistance = 7 - 1 = 6。

   • 使用二分查找在 [0, maxDistance] 范围内搜索最大的最小磁力。

3. 贪心选择：

   • 对于二分查找的每一个中间值 mid，我们需要检查是否可以放置 m 个球，使得任意两个球之间的磁力至少为 mid。

   • 如果可以，说明 mid 是一个可能的最小磁力，我们尝试更大的值。

   • 如果不可以，说明 mid 太大，我们需要尝试更小的值。

4. 检查函数：

   • 实现一个辅助函数 canPlace，用于检查是否可以放置 m 个球，使得任意两个球之间的磁力至少为 mid。

   • 通过遍历排序后的数组，贪心地放置球，确保每次放置的球与上一个放置的球的距离至少为 mid。

代码实现

class Solution {
public:
    int maxDistance(vector<int>& position, int m) {
        // 1. 排序
        sort(position.begin(), position.end());
        
        // 2. 二分查找的范围
        int left = 0, right = position.back() - position[0];
        
        // 3. 二分查找
        while (left < right) {
            int mid = (left + right + 1) / 2; // 中间值
            if (canPlace(position, m, mid)) {
                left = mid; // 可以满足条件，尝试更大的值
            } else {
                right = mid - 1; // 不能满足条件，尝试更小的值
            }
        }
        
        // 4. 返回结果
        return left;
    }
    
private:
    // 检查是否可以放置 m 个球，使得任意两个球之间的磁力至少为 minDistance
    bool canPlace(const vector<int>& position, int m, int minDistance) {
        int count = 1; // 已放置的球的数量
        int last = position[0]; // 上一个放置的球的位置
        
        for (int i = 1; i < position.size(); ++i) {
            if (position[i] - last >= minDistance) {
                last = position[i]; // 放置当前球
                count++; // 已放置的球的数量加 1
                if (count >= m) {
                    return true; // 已经放置了 m 个球
                }
            }
        }
        
        return false; // 无法放置 m 个球
    }
};

举例说明

示例 1：

• 输入：position = [1, 2, 3, 4, 7], m = 3

• 排序后：position = [1, 2, 3, 4, 7]

• 步骤：

  1. 二分查找范围：left = 0, right = 7 - 1 = 6

  2. 第一次循环：

     • mid = (0 + 6 + 1) / 2 = 3

     • 检查是否可以放置 3 个球，磁力至少为 3：

       • 放置 1，然后放置 4（因为 4 - 1 = 3 >= 3），然后放置 7（因为 7 - 4 = 3 >= 3）。

       • 可以满足条件，更新 left = 3。

  3. 第二次循环：

     • mid = (3 + 6 + 1) / 2 = 5

     • 检查是否可以放置 3 个球，磁力至少为 5：

       • 放置 1，然后无法放置其他球（因为 2 - 1 = 1 < 5，3 - 1 = 2 < 5，4 - 1 = 3 < 5，7 - 1 = 6 >= 5）。

       • 无法满足条件，更新 right = 4。

  4. 第三次循环：

     • mid = (3 + 4 + 1) / 2 = 4

     • 检查是否可以放置 3 个球，磁力至少为 4：

       • 放置 1，然后放置 7（因为 7 - 1 = 6 >= 4），但无法放置第三个球。

       • 无法满足条件，更新 right = 3。

  5. 循环结束，返回 left = 3。

• 输出：3

示例 2：

• 输入：position = [5, 4, 3, 2, 1, 1000000000], m = 2

• 排序后：position = [1, 2, 3, 4, 5, 1000000000]

• 步骤：

  1. 二分查找范围：left = 0, right = 1000000000 - 1 = 999999999

  2. 通过二分查找和贪心选择，最终找到最大最小磁力为 999999999。

• 输出：999999999

复杂度分析

1. 时间复杂度：

   • 排序：O(n log n)，其中 n 是数组长度。

   • 二分查找：O(log(maxDistance))，其中 maxDistance 是最大位置差。

   • 检查函数：O(n)，每次二分查找都需要调用一次检查函数。

   • 总时间复杂度：O(n log n + n log(maxDistance))。

2. 空间复杂度：

   • 排序需要 O(log n) 的栈空间（快速排序的递归栈）。

   • 其他操作使用常数空间。

   • 总空间复杂度：O(log n)。