7.【线性代数】——求解Ax=0，主列和自由列
七 求解Ax=0，主列和自由列
- 1. 消元、秩、特解
- 特解
- 零空间
- 2. 简化行阶梯形式 :主元上下都是0，主元简化为1
1. 消元、秩、特解
矩阵消元
[
1
2
2
2
2
4
6
8
3
6
8
10
]
⏟
A
⇒
r
o
w
2
−
2
r
o
w
1
,
r
o
w
3
−
3
r
o
w
1
[
1
2
2
2
0
0
2
4
0
0
2
4
]
⇒
行阶梯形式
r
o
w
3
−
r
o
w
2
[
1
2
2
2
0
0
2
4
0
0
0
0
]
⏟
[主列|自由列|主列|自由列|]
\underbrace{\begin{bmatrix} \boxed{1}&2&2&2\\ 2&4 &6&8\\ 3&6&8&10 \end{bmatrix}}_{A} \xRightarrow{row_2-2row_1,row_3-3row_1} \begin{bmatrix} \boxed{1}&2&2&2\\ 0&0&\boxed{2} &4\\ 0&0&2&4 \end{bmatrix} \xRightarrow[行阶梯形式]{row_3-row_2} \underbrace{\begin{bmatrix} \boxed{1}&2&2&2\\ 0&0&\boxed{2} &4\\ 0&0&0&0 \end{bmatrix}}_{\text{[主列|自由列|主列|自由列|]}}
A
1232462682810
row2−2row1,row3−3row1
100200222244
row3−row2行阶梯形式[主列|自由列|主列|自由列|]
100200220240
其中，框住的数，为主元。
矩阵的秩 定义： 主元的个数
回代，得到方程组
{
x
1
+
2
x
2
+
2
x
3
+
2
x
4
=
0
2
x
3
+
4
x
4
=
0
⇒
x
=
c
[
−
2
1
0
0
]
+
d
[
2
0
−
2
1
]
\begin{cases} x_1 +2x_2 + 2x_3+2x_4 = 0 \\ 2x_3+4x_4 = 0 \end{cases} \xRightarrow{} x = c\begin{bmatrix} -2\\1\\0\\0 \end{bmatrix} + d\begin{bmatrix} 2\\ 0\\ -2\\ 1 \end{bmatrix}
{x1+2x2+2x3+2x4=02x3+4x4=0x=c
−2100
+d
20−21
特解
枚举每个自由变量，其值为1，其余自由变量为0，计算特解
当
x
2
=
1
,
x
4
=
0
x_2=1,x_4=0
x2=1,x4=0 进行回代，解出
x
1
,
x
3
x_1,x_3
x1,x3
当
x
2
=
0
,
x
4
=
1
x_2=0,x_4=1
x2=0,x4=1 进行回代，解出
x
1
,
x
3
x_1,x_3
x1,x3
特解的个数 = 自由变量的个数
零空间
特解的线性组合
x
=
c
[
−
2
1
0
0
]
+
d
[
2
0
−
2
1
]
x = c\begin{bmatrix} -2\\1\\0\\0 \end{bmatrix} + d\begin{bmatrix} 2\\ 0\\ -2\\ 1 \end{bmatrix}
x=c
−2100
+d
20−21
2. 简化行阶梯形式 :主元上下都是0，主元简化为1
[
1
2
2
2
0
0
2
4
0
0
0
0
]
⏟
[主列|自由列|主列|自由列|]
⇒
r
o
w
1
−
2
r
o
w
2
[
1
2
0
−
2
0
0
2
4
0
0
0
0
]
⇒
r
o
w
2
/
2
[
1
2
0
−
2
0
0
1
2
0
0
0
0
]
⏟
R
1
\underbrace{\begin{bmatrix} \boxed{1}&2&2&2\\ 0&0&\boxed{2} &4\\ 0&0&0&0 \end{bmatrix}}_{\text{[主列|自由列|主列|自由列|]}} \xRightarrow{row_1-2row_2} \begin{bmatrix} \boxed{1}&2&0&-2\\ 0&0&\boxed{2} &4\\ 0&0&0&0 \end{bmatrix} \xRightarrow{row_2/2} \underbrace{\begin{bmatrix} \boxed{1}&2&0&-2\\ 0&0&\boxed{1} &2\\ 0&0&0&0 \end{bmatrix}}_{R_1}
[主列|自由列|主列|自由列|]
100200220240
row1−2row2
100200020−240
row2/2R1
100200010−220
主列构成的矩阵为
[
1
0
0
1
]
\begin{bmatrix} 1&0\\0&1 \end{bmatrix}
[1001]
自由列构成的矩阵为
[
2
−
2
0
2
]
\begin{bmatrix} 2&-2\\0&2 \end{bmatrix}
[20−22]
那么
R
1
R_1
R1进行第二三列交换为
R
R
R后，可以写成
[
I
F
0
0
]
\begin{bmatrix} I&F\\0&0 \end{bmatrix}
[I0F0]
求解
R
x
=
0
Rx=0
Rx=0，那么解为
N
(
R
)
=
[
−
F
I
]
N(R)=\begin{bmatrix} -F\\I \end{bmatrix}
N(R)=[−FI]，即
N
=
[
−
2
2
0
−
2
1
0
0
1
]
N = \begin{bmatrix} -2&2\\0&-2\\1&0\\0&1 \end{bmatrix}
N=
−20102−201
那么
R
1
x
=
0
R_1x=0
R1x=0的零空间，用矩阵表示为
N
(
R
1
)
=
[
−
2
2
1
0
0
−
2
0
1
]
N(R_1) = \begin{bmatrix} -2&2\\ 1&0\\ 0&-2\\ 0&1 \end{bmatrix}
N(R1)=
−210020−21
。（交换了
N
(
R
)
N(R)
N(R)的二三行）
矩阵进行行交换(左乘矩阵)，是不影响 A x = 0 Ax=0 Ax=0的解，而进行列交换(右乘矩阵)是影响解的位置的。
列交换相当于 ( A E ) ( E − 1 x ) = 0 (AE)(E^-1x)=0 (AE)(E−1x)=0