论文解读（全头皮重建方向）：3DCMM

从面部到完整头部：3DCMM 的技术原理解析

引言

在计算机图形学和人体工学领域，3D 头部模型的需求日益增加。无论是虚拟化身的创建还是头盔的个性化设计，仅有面部模型往往不足以满足要求，完整的头部几何（包括头皮）才是关键。传统的 3D 可变形模型（3DMM）多集中于面部重建，头皮区域因数据稀缺和技术限制常被忽略。2022 年发表于 VRCAI’22 的论文《3DCMM: 3D Comprehensive Morphable Models for Accurate Head Completion》提出了一种新方法，利用 2528 个真实头部扫描数据，构建了 3D 综合可变形模型（3DCMM），并实现从 2D 面部图像或 3D 扫描到完整头部的重建。

本文将详细解析 3DCMM 的技术原理，重点放在其数学基础和推导过程上，力求清晰且严谨。

背景

现有的 3DMM（如 Basel Face Model、FaceScape）擅长面部细节的重建，但对头皮区域的支持有限。少数头部模型（如 FLAME、LYHM）虽然尝试覆盖全头，但受限于样本数量（数百至一千多）、分辨率（顶点数较低）或种族单一性（多为白人数据），难以满足高精度需求。此外，头皮数据采集因头发遮挡而困难重重。

论文的目标是从面部输入（2D 图像或 3D 扫描）生成完整头部，方法是先重建面部，再预测头皮。为此，作者引入了 3DCMM，分成面部模型（3DMFM）和头皮模型（3DMSM），并用大规模真实数据驱动其构建和应用。

核心原理

1. 数据基础

3DCMM 的基础是 2528 个中国人群的 3D 头部扫描数据，涵盖年龄 3-84 岁，包括成人（1763 人）和儿童（765 人）。这些数据使用高精度扫描仪（如 Artec Eva，精度 0.1 毫米）采集，并通过非刚性迭代最近点算法（NICP）对齐到统一模板，确保顶点对应一致。

2. 主成分分析（PCA）构建 3DCMM

PCA 的基本过程

每个头部扫描是一个高维向量，例如面部模型有 53,215 个顶点（159,645 维，x, y, z 坐标），直接处理这些数据计算量巨大。PCA 通过降维提取主要形状变化模式，将头部表示为参数化模型。

1. 数据矩阵与中心化

   • 设数据矩阵 $X\in {\mathbb{R}}^{N\times D}$，$N=2528$（样本数），$D=159,645$（维度）。
   • 计算平均形状：
     $$\overline{S}=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N{X}_i$$
     其中 $X_i$ 是第 $i$ 个头部的顶点向量。
   • 中心化数据：
     $$X_{\text{centered}}=X-1{\overline{S}}^T$$
     $1$ 是全 1 向量，$X_{\text{centered}}$ 表示每个样本的偏差。

2. 协方差矩阵

   • 计算协方差矩阵：
     $$C=\frac{1}{N-1}{X}_{\text{centered}}^T{X}_{\text{centered}}$$
     $C\in {\mathbb{R}}^{D\times D}$，是一个对称矩阵，反映顶点坐标间的相关性。
   • 由于 $D$ 极大（159,645），直接计算 $C$ 成本高昂。实际中，可用奇异值分解（SVD）优化：
     • 对 $X_{\text{centered}}$ 进行 SVD：
       $$X_{\text{centered}}=U\Sigma V^T$$
       • $U\in {\mathbb{R}}^{N\times N}$，$\Sigma \in {\mathbb{R}}^{N\times D}$，$V\in {\mathbb{R}}^{D\times D}$。
       • $V$ 的列是主成分，${\Sigma }^2/(N-1)$ 对应特征值。
     • 协方差矩阵可表示为：
       $$C=\frac{1}{N-1}V{\Sigma }^2{V}^T$$

3. 特征分解与主成分

   • 对 $C$ 进行特征分解（或直接用 SVD 结果）：
     $$C=V\Lambda V^T$$
     • $\Lambda =\text{diag}({\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_D)$，${\lambda }_i$ 是特征值，按降序排列。
     • $V=[v_1,v_2,\dots ,v_D]$，$v_i$ 是主成分向量。
   • 取前 $m$ 个主成分（论文中 $m=220$，解释 98% 方差），组成矩阵 $B=[v_1,v_2,\dots ,v_m]$。

4. 形状表示

   • 每个头部可表示为：
     $$S=\overline{S}+B\alpha$$
     • $\alpha \in {\mathbb{R}}^m$ 是系数向量，$B\in {\mathbb{R}}^{D\times m}$。
   • 系数计算：
     $$\alpha =B^T(S-\overline{S})$$
     因为 $B$ 的列正交（$B^{T}B=I$），投影直接得出 $\alpha$。

3DCMM 的子模型

• 3DMFM（面部）：顶点数 53,215，$D_f=159,645$：
  $$S_f=\overline{S_f}+B_{fshp}{\alpha }_f$$
• 3DMSM（头皮）：顶点数 24,729，$D_s=74,187$：
  $$S_s=\overline{S_s}+B_{sshp}{\alpha }_s$$

3. 重建流程

步骤 1：面部重建

• 输入：2D 图像或 3D 扫描。
• 方法：
  • 2D 图像通过 CNN（如 Deep3DFace）预测 ${\alpha }_f$。
  • 3D 扫描通过 PointNet 编码为 ${\alpha }_f$。
• 输出：$S_f$。

步骤 2：头皮预测与合并

• 转换矩阵计算

  • 目标：从 ${\alpha }_f$ 预测 ${\alpha }_s$。
  • 数据：2528 对面部-头皮系数对，记为 $M_f\in {\mathbb{R}}^{m_f\times N}$（面部系数矩阵，$m_f=220$），$M_s\in {\mathbb{R}}^{m_s\times N}$（头皮系数矩阵，$m_s=220$）。
  • 多项式回归：
    • 扩展 $M_f$ 为 $[M_f,M_f^2,\dots ,M_f^n]$，维度变为 $(m_f\cdot n)\times N$。
    • 求转换矩阵 $C_{f,s}$：
      $$C_{f,s}=M_s{M}_f^T(M_f{M}_f^T{)}^{-1}$$
      • $M_f{M}_f^T\in {\mathbb{R}}^{m_f\cdot n\times m_f\cdot n}$ 是 Gram 矩阵，若不可逆，可加正则化项 $ϵI$：
        $$C_{f,s}=M_s{M}_f^T(M_f{M}_f^T+ϵI{)}^{-1}$$
      • 论文实验表明 $n=1$（线性回归）最佳。
  • 预测头皮：
    $${\alpha }_s=C_{f,s}[{\alpha }_f,{\alpha }_f^2,\dots ,{\alpha }_f^n]$$
    $$S_s=\overline{S_s}+B_{sshp}{\alpha }_s$$

• 合并

  • 使用权重分布图（鼻尖为坐标原点）平滑过渡：
    $$S_{\text{med}}^i=(1-W^i)S_s^i+W^i\sum _{k=1}^3{w}^{i,k}{S}_f^{i,k}$$
    • $W^i$ 为顶点权重，$w^{i,k}$ 为重心坐标权重。

实验结果

• 模型质量：3DMFM 重建误差 0.33 毫米，3DMSM 为 0.49 毫米，优于 BFM-2019（0.95 毫米）。
• 头皮预测：误差 2.04 毫米，优于拟合方法（3.23 毫米）。
• 应用：支持虚拟化身生成和头盔设计。

分析与展望

3DCMM 的优势在于真实数据支撑、独立头皮建模和参数化表示。其局限是数据集中于中国人群，未来可融入多种族样本（如 Headspace）提升普适性。

结语

3DCMM 通过 PCA 和回归，从面部重建到完整头部，提供了一种高效、精确的方法。其数学基础扎实，应用前景广阔，为后续研究奠定了基础。