阶乘约数——蓝桥杯python组国赛题（C++、唯一分解定理）

题目描述
本题为填空题，只需要算出结果后，在代码中使用输出语句将所填结果输出即可。

定义阶乘 n!=1×2×3×⋅⋅⋅×n。

请问 100!（100 的阶乘）有多少个正约数。

运行限制
最大运行时间：1s
最大运行内存: 128M

分析

这道题是一个唯一分解定理的运用，唯一分解定理通常用来解决大数相除这类型的题，给出唯一分解定理的定义：

任何一个大于1的数，都可以唯一分解成若干个质数的乘积

注意该定理的性质：存在性、唯一性

这是一种数学思维，自行证明起来也容易，想看那种严谨的数学思维推导的证明方法自行去搜索即可。

给出唯一分解定理的算法：

vector<int>v;//存储唯一分解定理的分解值
inline void dev(int n){
	int c=sqrt(n);//这里要单独提出来，否则下面for循环的时候n会变
	for(int i=2;i<=c;++i)
		//当n整除i的时候，就一直除到这个没办法再除为止
		while(n%i==0)n/=i,v.push_back(i);
		//容易发现，经过这样的处理，绝对不会出来i是非素数的情况下n%i=0,
		//比如i=2的时候被n整除，n除i到没有办法再除以之后，n绝对不可能在之后整除4
	if(n)//可能整除完还剩下一个数字，这个数字一定是素数
		v.push_back(n);
}

放到这道题，我们如果暴搜，基本上是跑不出来的，就算能跑出来，还得要去重，除此之外，数字可能很大，long long也是存不下去的。

这里遇到的问题，就是大数相除问题：通常情况，我们构造出来一个数字num以后需要验证(n!)%num=0，然后这样的数连存储都做不到。

而考虑一种思维，如果这个数能被n!整除，那么我们肯定是被其中的所有数（1、2、…、n）的所有素数因子的若干个组成，而对于100!，我们可以把1到100中的每个数分解质因数，通过这些质因数很容易调配出其约数。

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long 
using namespace std;
int cnt[105];
inline void dev(int n){
	int c=sqrt(n);
	for(int i=2;i<=c;++i)
		while(n%i==0)n/=i,cnt[i]++;
	if(n)cnt[n]++;
}
int main(){
	for(int i=2;i<=100;++i)dev(i);
	ll ans=1;
	for(int i=2;i<=100;++i)ans*=(cnt[i]+1);//+1的原因是某个质因数完全可以不用选，也是一种情况（一个都不选代表的是选1这个非质因数）
	cout<<ans<<endl;
}