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【数据结构】2算法及分析

article 2025/3/14 14:30:20

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章节

１．４到1．５小节。

掌握算法概念、特性、描述、算法性能时间复杂度和空间复杂度；

理解递归含义？

掌握实现递归的条件和时机；

应用简单递归问题的算法设计；

重点

算法概念与特征，算法表示；

难点

算法的分析与算法设计；

递归算法的理解与使用；

作业或思考题

作业2：算法设计与表达

内容达成以下标准(考核点)：

理解与陈述算法概念；

理解并设计与表达算法：设计算法，使用工具表达，分析算法

算法设计与实现作业

摘要: 本文旨在为求1+（1+2）+（1+3）+（1+2+4）+（1+3+5）+....+（1+2+...+2n)+（1+3+5+...+2n-1)的和,设计算法，并分别使用自然语言、N-S图，伪代码来表示。分析算法的时间和空间效率, 和评价算法，然后使用java 完成算法的实现。

关键词：算法设计；评价；Java实现；

abstract

The purpose of this article is to design an algorithm to calculate the sum of the series 1 + (1+2) + (1+3) + (1+2+4) + (1+3+5) + ... + (1+2+...+2n) + (1+3+5+...+2n-1). The algorithm will be represented using natural language, an N-S diagram, and pseudo code. The time and space efficiency of the algorithm will be analyzed, and the algorithm will be evaluated. Finally, the algorithm will be implemented in Java.

Keywords: Algorithm Design; Evaluation; Java Implementation

1 实现方法一

1.1算法表示

1.1.1自然语言表示

1．创建一个变量sum并将其初始化为0，用于保存总和。

2．使用for循环从1迭代到n，迭代变量i表示当前迭代的数字。

3．在每次迭代开始时，创建两个临时变量s1和s2，分别用于保存奇数项和偶数项的和，并将它们初始化为0。

4．判断i是否大于1，如果是，则计算s1的值为(i-1) * (i-1) + i，表示从1到2n-1的所有奇数的和，如果不是，则s1保持为0。

5．计算s2的值为i * i，表示从1到2n的所有偶数的和。

6．将s1和s2分别累加到总和sum中。

7．循环结束后，返回总和sum作为最终结果。

1.1.2 N-S图表示

1.1.3伪代码表示

输入：n

输出：sum // 1+（1+2）+（1+3）+（1+2+4）+（1+3+5）+....+（1+2+...+2n)+（1+3+5+...+2n-1)的和

    function calculateSum(n):

    sum = 0

    for i from 1 to n:

        s1 = 0

        s2 = 0

        if i > 1:

            s1 = (i-1)^2 + i

        s2 = i^2

        sum += s1 + s2

    return sum

1.2算法分析

时间复杂度分析：外层循环迭代n次，所以时间复杂度为O(n)。内部计算s1和s2的操作是常数时间的，不会随输入规模变化，因此对时间复杂度没有影响。

空间复杂度分析：算法使用了常数个变量来保存中间结果，所以空间复杂度为O(1)，即为常数级别。不会随输入规模变化。

1.3算法实现

public class Algorithm {
   public static int calculateSum(int n) {
       int sum = 0;
       for (int i = 1; i <= n; i++) {
           int s1 = 0;
           int s2 = 0;
           if (i > 1){
               s1 = (i-1) * (i-1)  + i;//单独的和, 偶数项
           }
           s2 = i * i;//单独的和, 奇数项
           sum += s1 + s2;
       }
       return sum;
   }
   public static void main(String[] args) {
       int n = 4;
       int result = calculateSum(n);
       System.out.println("当n=" + n + "时，sum=" + result);
   }
}

1.4算法总结

该算法是一个简单直观的解决方案，它通过循环迭代计算每一项的和，并将其累加到总和中。由于只有一个循环，算法的时间复杂度是线性的，具有较好的效率。同时，算法的空间复杂度也是常数级别的，节省了内存的使用。总体而言，这个算法是一个有效且可行的解决方案。

2实现方法二

2.1算法表示

2.1.1自然语言表示

1．初始化两个数组s1和s2，长度为n。

2．对于从1到n的每个数i：

如果i大于1，计算s1[i-1]的值为 (i-1) * (i-1) + i。

计算s2[i-1]的值为 i * i。

3．定义变量sum并初始化为0。

4．对于数组s1和s2的每个索引i：

将s1[i]和s2[i]的值累加到sum上。

5．返回sum作为结果。

2.1.2N-S图表示

2.1.3伪代码表示

输入：n

输出：sum // 1+（1+2）+（1+3）+（1+2+4）+（1+3+5）+....+（1+2+...+2n)+（1+3+5+...+2n-1)的和

function calculateSum(n):

    s1 = new int[n]

    s2 = new int[n]

    for i = 1 to n:

        if i > 1:

            s1[i-1] = (i-1) * (i-1) + i

        s2[i-1] = i * i

    sum = 0

    for i = 0 to n-1:

        sum += s1[i]

        sum += s2[i]

    return sum

2.2算法分析

时间复杂度分析：该算法的时间复杂度为O(n)，其中n是输入的参数。因为算法包含两个for循环，两个循环的迭代次数都是n。

空间复杂度分析：该算法的空间复杂度为O(n)，其中n是输入的参数。因为算法使用了两个长度为n的数组s1和s2来存储中间结果。此外，还有几个整型变量用于计算和累加过程，它们的空间占用可以忽略不计。

2.3算法实现

public class Algorithm {
   public static int calculateSum(int n) {
       int[] s1 = new int[n];
       int[] s2 = new int[n];
       for (int i = 1; i <= n; i++) {
           if (i > 1){
               s1[i-1] = (i-1) * (i-1) + i; // 计算s1的值
           }
           s2[i-1] = i * i; // 计算s2的值
       }
       int sum = 0;
       for (int i = 0; i < n; i++) {
           sum += s1[i] + s2[i]; // 累加s1和s2的值
       }
       return sum;
   }
   public static void main(String[] args) {
       int n = 4;
       int result = calculateSum(n);
       System.out.println("当n=" + n + "时，sum=" + result);
   }
}