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23年蓝桥杯 ———— 阶乘求和

article 2025/3/20 2:43:27

5.阶乘求和 - 蓝桥云课

要求如下：

怎么说呢，写了1个小时也没写出来，我丢，这题是真的逆天，真没想到先把计算一下每个数的阶乘，看了人家的解析，我还纳闷呢，第40个是0 我看了半天也没想明白这他喵的怎么能是0呢，后来才反应过来，是第40个数 40 ！保留9位数是0，我丢

deepseek如是说：

嗯，这道题是要求计算从1!到202320232023!的和的末尾9位数字。首先，我想到直接计算这么大的阶乘和显然是不现实的，因为阶乘增长得非常快，数值会变得极大，远远超出计算机的处理能力。因此，必须找到一种巧妙的方法来简化计算。
首先，我回忆了模运算的性质。题目要求的是末尾9位数字，也就是结果对10^9取余后的值。所以，应该可以在计算每个阶乘时，直接对10^9取余，避免数值过大。不过，这样处理是否正确呢？
然后，我想到阶乘的末尾会有很多零。例如，10!的末尾有两个零，而更大的阶乘会有更多的零。当某个阶乘的末尾零的数量达到或超过9个时，这个阶乘对10^9取余的结果就是0，并且之后更大的阶乘也会继续对10^9取余为0，因为阶乘中会有更多的因子2和5，从而产生更多的零。因此，当某个阶乘之后的所有项对10^9的余数都是0时，后续的计算就可以停止了。
接下来，我需要确定从哪个阶乘开始，余数变为0。例如，40!的末尾有多少个零呢？计算末尾零的数量取决于阶乘中因子2和5的数量，因为每个零都是由一个2和一个5相乘得到的。在阶乘中，因子5的数量通常比因子2少，所以末尾零的数量由因子5的数量决定。计算40!中因子5的数量：40/5 + 40/25 = 8 + 1 = 9个。因此，40!的末尾有9个零，对10^9取余的结果是0。之后的阶乘，比如41!、42!等，末尾的零数量更多，所以它们的余数也都是0。因此，只需要计算到40!即可，后面的项对总和没有贡献。
现在，我需要验证这个思路是否正确。编写一个简单的Java程序，计算每个阶乘对10^9的余数，当余数变为0时停止，并累加这些余数，最后输出总和对10^9的余数。这样就能得到正确的末尾9位数字。
在编写代码时，需要注意的是，每次计算阶乘时都要及时取余，避免数值溢出。例如，使用长整型变量来保存阶乘和总和，并在每次乘法后立即取余，这样可以确保数值不会超出长整型的范围。
此外，输出结果时需要格式化输出，确保即使结果不足9位，也要用前导零补足。例如，如果总和是12345678，应该输出012345678，但题目提示答案的首位不为0，所以实际结果不会有前导零的问题，但代码中还是需要处理这种情况。
最后，运行代码，验证结果是否符合预期。例如，当计算到40!时，程序应该停止，并且累加的结果应该是正确的末尾9位数字。通过实际运行代码，可以得到具体的数值结果，确保答案的正确性

我试了一下：

package zhen23;

import java.math.BigInteger;

/**
 * @author zb
// * 什么世阶乘
 * date2025/3/16 14:07
 */
public class L3500 {
    public static void main(String[] args) {
        long sum = 0;


        for (long i = 1; i <= 40L; i++) {
            long jie = 1;
            for (int j = 1; j <= i; j++) {
                jie = (long) ((jie*j)%(1e9));
            }
            System.out.println(i+"!等于  ："+jie);
            sum = (long) ((jie+sum) % (1e9));
//            sum %= (1e9);
        }
        System.out.println(sum);


    }
}

运行之后的1-40的阶乘