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1. 问题一

• 可视化数据

# 加载模块
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 加载数据
# data1 : 浓度检测数据
fp = open("data1.txt", "r")
data1 = []
for i in fp.read().strip().split("\n"):
    row = [float(k) for k in i.strip().split(" ")]
    data1.append(row)
fp.close()
data1 = np.array(data1)

# 可视化
plt.rcParams['figure.figsize'] = (6, 6)
plt.rcParams['savefig.dpi'] = 300

# x轴
week = np.arange(1, 16)
# y轴
y1 = data1[:, 0]  # 检测点1
y2 = data1[:, 1]  # 监测点2
y3 = data1[:, 2]  # 检测点3
y4 = data1[:, 3]  # 监测点4
y5 = data1[:, 4]  # 监测点5

plt.scatter(week, y1, color="r", marker="+")
plt.scatter(week, y2, color="g", marker="x")
plt.scatter(week, y3, color="b", marker="o")
plt.scatter(week, y4, color="c", marker="*")
plt.scatter(week, y5, color="m", marker=".")

plt.plot(week, y1, color="r", linewidth=0.5)
plt.plot(week, y2, color="g", linewidth=0.5)
plt.plot(week, y3, color="b", linewidth=0.5)
plt.plot(week, y4, color="c", linewidth=0.5)
plt.plot(week, y5, color="m", linewidth=0.5)

plt.xlabel("t (week)")
plt.ylabel("c (mg/L)")

plt.legend(["Monitoring p1", "Monitoring p2", "Monitoring p3", "Monitoring p4", "Monitoring p5"])

• 计算偏差、均值

# 复用上面数据加载 data1, week
mean = []
std = []
for _w in week:
    mean.append(np.mean(data1[_w-1, :]))
    std.append(np.std(data1[_w-1, :], ddof=1))

针对每周的监测点数据分析，各监测点数据标准差均在 0.05 以内，其中最大偏差出现在第10周。

偏差在允许范围内，数据中无明显坏点，均为有效数据。

考虑使用周各监测点数据的均值代表该周湖水污染颗粒的浓度情况。则周内变化如下

• 构建模型

  假设条件：

  1）考虑到湖体积足够大，因流入流出速度差异导致的体积变化忽略不计；

  2）污染物流入湖中，其扩散时间考虑为 0，即立马均匀扩散至全湖

  3）不考虑渗透、蒸发、降雨等其它因素的影响

  考虑 $dt$ 时间内输入、输出污染物量分别为：
  $$\begin{gathered} M_{in}=c_0\cdot v_{in}\cdot dt \\ {M}_{out}=c\cdot v_{out}\cdot dt \end{gathered}$$
  构建微分方程
  $$dc=\frac{M_{in}-M_{out}}{V}=(\frac{c_0\cdot v_{in}}{V}-\frac{c\cdot v_{out}}{V})dt$$

  名词说明：c — 质量浓度，t — 时间，$v_{in}$— 输入流速，$v_{out}$— 输出流速，V — 湖水体积

  求解微分方程，得到湖水污染物浓度随时间变化的数学模型：
  $$c(t)=(\frac{c_0\cdot v_{in}}{V}-\frac{v_{out}}{V})-k\cdot e^{-\frac{v_{out}}{c_0\cdot v_{in}}t}$$

• 数据拟合(参数最优化求解)

  浓度模型简化为：
  $$c_t={\lambda }_1-{\lambda }_2\cdot e^{{\lambda }_{3}t}$$
  其中，${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3$ 为待定参数。

  基于每周的观测点均值数据，使用 matlab 拟合工具，可以求解最佳参数，其中
  $$\begin{gathered} {\lambda }_1= \\ {\lambda }_2= \\ {\lambda }_3= \end{gathered}$$
  可以得到最终模型：
  $$c(t)=$$

• 结果验证

  模型曲线与实际监测数据符合情况如下：

  [此处插入曲线图表]

  [此处插入符合的指标数据]

• 模型预测
  [预测 t=20, t=30 情况]