假设检验（三）（单侧假设检验）

在 《假设检验（二）（正态总体参数的假设检验）》中我们讨论了形如 $H_0:\theta ={\theta }_0\leftrightarrow H_1:\theta \ne {\theta }_0$ 的假设检验问题，其中原假设 $H_0$ 为简单假设，备择假设 $H_1$ 所表示的参数区域在 $H_0$ 的参数区域的两侧，因而这样的假设称为双侧假设或双边假设。

在实际问题中，有时会遇到形如 $H_0:\theta \le {\theta }_0\leftrightarrow H_1:\theta >{\theta }_0$、$H_0:\theta \ge {\theta }_0\leftrightarrow H_1:\theta <{\theta }_0$ 等等的假设。在这些假设中，备择假设 $H_1$ 所表示的参数区域在 $H_0$ 的参数区域的一侧，因而这样的假设称为单侧假设或单边假设。

例：设 $X_1,...,X_n$ 为正态总体 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ 的样本，$\mu ,{\sigma }^2$ 均未知，要检验
$$H_0:\mu ={\mu }_0\leftrightarrow H_1:\mu >{\mu }_0$$ 取 $T=\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-{\mu }_0)}{S^{\ast }}$ 作为检验统计量。当 $H_0$ 成立时，一方面，$T\sim t(n-1)$，另一方面，$T$ 的取值应在 0 附近，即 $T$ 取过分大的正值将不利于 $H_0$，因而 $H_0$ 的拒绝域应取 W = { T ≥ k } W=\{T \ge k\} W={T≥k} 的形式。

对给定的水平 $\alpha$，查 $t(n-1)$ 分布表，得 $k=t_{\alpha }(n-1)$，使得 P { T ≥ t α ( n − 1 ) } = α P\{T \ge t_\alpha(n-1)\}=\alpha P{T≥tα​(n−1)}=α，故得 $H_0$ 的拒绝域为
W = { T ≥ t α ( n − 1 ) } W=\{T \ge t_\alpha(n-1)\} W={T≥tα​(n−1)}

例：设 $X_1,...,X_n$ 为正态总体 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ 的样本，$\mu ,{\sigma }^2$ 均未知，要检验
$$H_0:\mu \le {\mu }_0\leftrightarrow H_1:\mu >{\mu }_0$$ 仍取 $T=\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-{\mu }_0)}{S^{\ast }}$ 作为检验统计量。当 $H_0$ 成立时，$T$ 应偏向取负值，即 $T$ 取过分大得正值将不利于 $H_0$，因而 $H_0$ 的拒绝域应取 W = { T ≥ k } W=\{T \ge k\} W={T≥k} 的形式。

与上例不同，现在当 $H_0$ 成立时，表示 $\mu \le {\mu }_0$，因此
$$T=\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-{\mu }_0)}{S^{\ast }}\le T=\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu )}{S^{\ast }}\sim t(n-1)$$ （注意，当 $H_0$ 成立时，$T$ 本身未必服从 $t(n-1)$ 分布）由上述不等式得
$$P_{H_0}\left\{\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-{\mu }_0)}{S^{\ast }}\ge k\right\}\le P_{H_0}\left\{\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu )}{S^{\ast }}\ge k\right\}$$ 对给定的水平 $\alpha$，查 $t(n-1)$ 分布表，得 $k=t_{\alpha }(n-1)$，使得
$$P_{H_0}\left\{\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu )}{S^{\ast }}\ge t_{\alpha }(n-1)\right\}=\alpha$$ 则
P H 0 ( W ) = P H 0 { T ≥ t α ( n − 1 ) } ≤ P H 0 { n ( X ˉ − μ ) S ∗ ≥ t α ( n − 1 ) } = α P_{H_0}(W)=P_{H_0}\{T \ge t_\alpha(n-1)\} \le P_{H_0}\left\{\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{S^*} \ge t_\alpha(n-1) \right\}=\alpha PH0​​(W)=PH0​​{T≥tα​(n−1)}≤PH0​​{S∗n ​(Xˉ−μ)​≥tα​(n−1)}=α 这表明 $H_0$ 的水平 $\alpha$ 的拒绝域为
W = { T ≥ t α ( n − 1 ) } W=\{T \ge t_\alpha(n-1)\} W={T≥tα​(n−1)}

尽管以上两个例子中，原假设 $H_0$ 的形式不同，实际意义也不一样，但在同一水平 $\alpha$ 下，它们的拒绝域却是相同的，即检验规则是相同的。因此在对正态总体的参数作单侧假设检验时，当遇到原假设 $H_0$ 及备择假设 $H_1$ 均为复合形式的单侧假设，可以考虑先将原假设换成简单假设，再进行讨论。

参考文献

[1] 《应用数理统计》，施雨，西安交通大学出版社。