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蓝桥杯算法全集之完全背包问题（动态规划算法）

article 2024/12/26 9:02:24

一、概念定义

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包，每种物品都有无限件可用。
第 i种物品的体积是 v i，价值是 w i。
求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

用下面这个图来分别动态规划的四个经典背包问题

二.如何判断一个题目能否采用动态规划算法

1. 根据数据范围，根据yxc给出的由数据范围反推算法的模板

2. 根据动态规划的特殊定义

问题可以划分为多个子问题，并且子问题之间存在重叠；

求解问题的最优解时，需要考虑之前所做的决策；

三.动态规划的核心步骤

定义状态的含义（这一步需要一定的做题经验的积累）

状态的转化，建立前后状态的等式关系（一般通过最后一步的分类讨论来进行状态计算）

精准定义初始值

四：题目描述

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包，每种物品都有无限件可用。

第 i 种物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。

输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，V用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0<N,V≤1000

0<vi,wi≤1000

输入样例

4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

输出样例

10

五.思路分析

思路可借鉴前一篇01背包的思路，但是集合的划分略有不同：01背包问题详解

根据上述的动态规划的步骤我们一步一步来思考：

定义状态的含义

f【i，j】：从前i个物品中选，且最大体积不超过j的选法的集合

状态计算

既然是从前i个物品当中选，最后一步一定是决定选几个第i个物品（这里不同于01背包问题）
a. 选取0个第i个物品=====>f【i，j】= f【i - 1，j 】
b.选取1个第i个物品=====>f【i，j】= f【i - 1，j - v【i】】+w【i】
c.选取2个第i个物品=====>f【i，j】= f【i - 1，j - 2v【i】】+ 2w【i】
d.选取3个第i个物品=====>f【i，j】= f【i - 1，j - 3v【i】】+3w【i】
·
·
·
k.选取k个第i个物品=====>f【i，j】= f【i - 1，j - kv【i】】+k*w【i】

精准定义初始值

这里的初值都是0，没必要修改。但是有些题目的初值是比较重要的。
比如青蛙跳级题目剑指 Offer 10- II. 青蛙跳台阶问题 - 力扣（LeetCode）

给出图示，注意：黑框部分需要好好理解（重中之重），实际上就是一个等价替换，以此来达到优化的效果

六：万年无误代码模板（含思路解析）

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N][N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) cin >> v[i] >> w[i]; // 读入数据

    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        for (int j = 1; j <= m; j ++ )
        {
            f[i][j] = f[i-1][j]; // 由于j不一定大于等于当前物品的体积，所以先把不选的情况赋值给f【i】【j】
            if(j>=v[i])  f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i][j - v[i]] + w[i]); // 这一步需要根据上面的手写黑框来理解
        }
    cout << f[n][m] << endl;

    return 0;
}

也可以优化成一维数组

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) cin >> v[i] >> w[i];

    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        for (int j = v[i]; j <= m; j ++ )
            f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);

    cout << f[m] << endl;

    return 0;
}