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矩阵分块乘法的证明

article 2024/9/27 21:20:30

设A是一个 $m \times l$ 的矩阵，B是一个 $l \times n$ 的矩阵，

$A_{m \times l} = \left( \begin{matrix} a_{11} & \cdots & a_{1l} \\ \vdots & \qquad & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{ml} \end{matrix} \right)$ $B_{l \times n} = \left( \begin{matrix} b_{11} & \cdots & b_{1n} \\ \vdots & \qquad & \vdots \\ b_{l1} & \cdots & b_{ln} \end{matrix} \right)$ ，

A和B的分块矩阵分别记为 $A^{'}$ 和 $B^{'}$ ，

$A^{'}_{s \times t} = \left( \begin{matrix} A_{11} & \cdots & A_{1t} \\ \vdots & \qquad & \vdots \\ A_{s1} & \cdots & A_{st} \end{matrix} \right)$ $B^{'}_{t \times r} = \left( \begin{matrix} B_{11} & \cdots & B_{1r} \\ \vdots & \qquad & \vdots \\ B_{t1} & \cdots & B_{tr} \end{matrix} \right)$

证明 $AB = A^{'}B^{'}$ .

证明：设

$AB = \left( \begin{matrix} e_{11} & \cdots & e_{1n} \\ \vdots & \qquad & \vdots \\ e_{m1} & \cdots & e_{mn} \end{matrix} \right)$ $e_{ij} = \sum_{k=1}^l a_{ik} b_{kj}$

$A^{'}B^{'} = \left( \begin{matrix} C_{11} & \cdots & C_{1r} \\ \vdots & \qquad & \vdots \\ C_{s1} & \cdots & C_{sr} \end{matrix} \right)$ $C_{ij} = \sum_{k=1}^t A_{ik} B_{kj}$

要证明 $AB = A^{'}B^{'}$ ，可以首先证AB和 $A^{'}B^{'}$ 是同型矩阵，即证明 $A^{'}B^{'}$ 是一个 $m \times n$ 的矩阵，接着再证 $AB = A^{'}B^{'}$ ，可以把AB做一个与 $A^{'}B^{'}$ 同样的分块，然后证明相同位置的分块相等。关于矩阵分块，这里有几个结论，1）处于同一行的分块，它们包含的行数相同，2）处于同一列的分块它们包含的列数相同，3）两个可以相乘的分块矩阵，左边矩阵的第i列的分块包含的列数和右边矩阵的第i行的分块包含的行数相同，左边矩阵对行分块及右边矩阵对列分块没有什么限制。

我们先定义两个函数L和H，L用于获取矩阵分块包含的列数，H用于获取矩阵分块包含的行数，令 $L(A_{ij}) = l_j (1\leqslant i \leqslant s)$ 有 $l_1+l_2+\cdots+l_t=l$ ，同时令 $H(B_{ij}) = h_i (1 \leqslant j \leqslant r)$ ,有 $h_1+h_2+ \cdots + h_t = l$ ，并且有 $l_i = h_i(1 \leqslant i \leqslant t)$ ，令 $H(A_{ij}) = h^{'}i(1 \leqslant j \leqslant t)$ ，有 $h^{'}_1 + h^{'}_2 + \cdots + h^{'}_s = m$ ，令 $L(B_{ij}) = l^{'}_j(1 \leqslant i \leqslant t)$ ，有 $l^{'}_1 + l^{'}_2 + \cdots + l^{'}_r = n$ 。因为 $C_{ij} = \sum_{k=1}^t A_{ik} B_{kj}$ ，所以 $H(C_{ij}) = H(A_{ik}) = h^{'}_i$ ， $L(C_{ij}) = L(B_{kj}) = l^{'}_j$ ，所以 $C_{ij}$ 是一个 $h^{'}_i \times l^{'}_j$ 的矩阵，所有与 $C_{ij}$ 在同一行的子块包含的行数都相同，所有与 $C_{ij}$ 在同一列的子块包含的列数都相同，所以 $C_{ij}$ 仍然是一个分块矩阵， $A^{'}B^{'}$ 包含的行数为 $\sum_{i=1}^sH(C_{ij}) = \sum_{i=1}^sh^{'}i = m$ ，包含的列数为 $\sum_{j=1}^rL(C_{ij}) = \sum_{j=1}^rl^{'}_j = n$ ，所以 $A^{'}B^{'}$ 是一个 $m \times n$ 矩阵，即证明了 $A^{'}B^{'}$ 和AB是同型矩阵。

接下来证明 $AB = A^{'}B^{'}$ 。

把AB做与 $A^{'}B^{'}$ 同样的分块，记为

$AB = \left( \begin{matrix} E_{11} & \cdots & E_{1r} \\ \vdots & \qquad & \vdots \\ E_{s1} & \cdots & E_{sr} \end{matrix} \right)$ 只需证明 $E_{ij} = C_{ij}$ 即可。

要证明 $E_{ij} = C_{ij}$ ，只要证明它们的同位置元素相等，也就是证明 $(E_{ij})_{uv} = (C_{ij})_{uv}$ ，让我们来各自求这两个元素，看它们是否相等。

先求 $(E_{ij})_{uv}$ ，先求 $(E_{ij})_{uv}$ 的行列号， $H((E_{ij})_{uv}) = H((E_{ij})_{1v}) + u - 1 = \sum_{r=1}^{i-1}H(E_{rv}) + 1 + u -1 = \sum_{r=1}^{i-1}h^{'}_r + u$

令 $\sum_{r=1}^{i-1}h^{'}_r$ 为p，则 $H((E_{ij})_{uv}) = p + u$ ，

$L((E_{ij})_{uv}) = L((E_{ij})_{u1}) + v - 1 = \sum_{c=1}^{j-1}L(E_{uc}) + 1 + v -1 = \sum_{c=1}^{j-1}l^{'}_c + v$

令 $\sum_{c=1}^{j-1}l^{'}_c$ 为q， $L((E_{ij})_{uv}) = q + v$ ，则 $(E_{ij})_{uv} = e_{p+u, q+v} = \sum_{k=1}^l a_{p+u,k}b_{k,q+v}$

接下来求 $(C_{ij})_{uv}$ ， $C_{ij} = \sum_{k=1}^t A_{ik} B_{kj}$ ，所以 $(C_{ij})_{uv} = \sum_{k=1}^t (A_{ik} B_{kj})_{uv} = (A_{i1}B_{1j})_{uv} +(A_{i2}B_{2j})_{uv} + \cdots + (A_{it}B_{tj})_{uv}$

下面看如何计算 $(A_{ik} B_{kj})_{uv}$ ，根据矩阵的乘法规律，它是用 $A_{ik}$ 的第u行乘以 $B_{kj}$ 的第v列得到，

$H((A_{ik})_{u1}) = H((A_{ik})_{11}) + u - 1= \sum_{r=1}^{i-1}H(A_{r1}) + 1 + u - 1 = \sum_{r=1}^{i-1}h^{'}_r + u = p+u$

$L((A_{ik})_{u1}) = \sum_{c=1}^{k-1}L(A_{ic}) + 1 = \sum_{c=1}^{k-1}l_c + 1$

$H((B_{kj})_{1v}) = H((B_{kj})_{11}) = \sum_{r=1}^{k-1}H(B_{rj}) + 1 = \sum_{r=1}^{k-1}h_r + 1$

$L((B_{kj})_{1v}) = L((B_{kj})_{11}) + v -1 = \sum_{c=1}^{j-1}L(B_{kc}) + 1 + v - 1= \sum_{c=1}^{j-1}l^{'}_c + v = q + v$

$A_{ik}$ 的第u行为： $\{ a_{p+u, w}|\sum_{c=1}^{k-1}l_c + 1 \leqslant w \leqslant \sum_{c=1}^{k}l_c \}$

$B_{kj}$ 的第v列为： $\{b_{w,q+v}|\sum_{r=1}^{k-1}h_r + 1 \leqslant w \leqslant \sum_{r=1}^{k}h_r \}$

别忘了有 $l_i = h_i(1 \leqslant i \leqslant t)$ ，于是 $(A_{ik} B_{kj})_{uv} = \sum_{w=h_1+h_2+\cdots+h_{k-1} + 1}^{h_1+h_2+\cdots+h_k}a_{p+u,w}b_{w,q+v}$ ， $(C_{ij})_{uv} = \sum_{k=1}^t (A_{ik} B_{kj})_{uv} = (A_{i1}B_{1j})_{uv} + (A_{i2}B_{2j})_{uv} + \cdots + (A_{it}B_{tj})_{uv} = \sum_{w=1}^{h_1}a_{p+u,w}b_{w,q+v} + \sum_{w=h_1 + 1}^{h_1+h_2}a_{p+u,w}b_{w,q+v} + \cdots + \sum_{w=h_1+h_2+\cdots+h_{t-1} + 1}^{h_1+h_2+\cdots+h_t}a_{p+u,w}b_{w,q+v} = \sum_{w=1}^{h_1+h_2+\cdots+h_t}a_{p+u,w}b_{w,q+v} = \sum_{w=1}^{l}a_{p+u,w}b_{w,q+v}$