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3D Tiles的4x4的仿射变换矩阵

article 2024/11/14 9:41:44

前言

项目需要，使用Cesium技术，把STL格式模型加载进去。

一、格式转换

第一步，先将STL文件转换为glTF格式
第二步，将glTF文件转换为3D Tiles格式，使用Cesium ion

二、矩阵整体结构

这个矩阵是一个4x4的仿射变换矩阵，用于在3D Tiles中描述模型的位置、旋转和缩放。

[
   a,  b,  c,  d, 
   e,  f,  g,  h, 
   i,  j,  k,  l, 
   m,  n,  o,  p
]

第一到第三行前三列表示旋转矩阵

[
   a,  b,  c,  
   e,  f,  g,   
   i,  j,  k,  
]

第四行前三列（m, n, o）表示平移向量，p为齐次坐标的标准形式。

[
   m, n, o,p
]

其实就是它的模型的位置
地心坐标系（ECEF: Earth-Centered, Earth-Fixed）: 在这个坐标系中，地球的中心被定义为原点，X、Y、Z 轴固定在地球上并随地球自转。通常，X 轴指向本初子午线和赤道的交点，Y 轴指向90度经度和赤道的交点，Z 轴指向北极。

3D Tiles: 通常包含几何、材质、纹理等信息，使用的是地心坐标系来定义这些信息在地球表面的位置。

具体值替换，通过其他手段获取【模型目标放置位置】的经纬度，再转成地心坐标系ECEF。

三、经纬度转地心坐标系ECEF

将经纬度转换为地心坐标系 (ECEF, Earth-Centered, Earth-Fixed) 坐标系的步骤如下：

1. 了解坐标系

经纬度: 地理坐标系，表示地球表面的位置。由纬度 (latitude, φ)、经度 (longitude, λ) 和高度 (altitude, h) 定义。
- 纬度 φ: 从赤道向北或向南的角度，范围为 -90°（南极）到 90°（北极）。
- 经度 λ: 从本初子午线向东或向西的角度，范围为 -180°（西）到 180°（东）。
- 高度 h: 海拔高度，即点到地球表面的垂直距离。
地心坐标系 (ECEF): 地心为原点，X 轴指向赤道与本初子午线的交点，Y 轴指向赤道与经度 90° 的交点，Z 轴指向北极。

2. 转换公式

要将经纬度 (φ, λ, h) 转换为地心坐标系下的 (X, Y, Z) 坐标，需使用以下公式：

在这里插入图片描述

3. 示例代码 (Python)

import math

def lat_lon_to_ecef(lat, lon, alt):
    # 常量
    a = 6378137.0  # 长半轴 (meters)
    b = 6356752.314245  # 短半轴 (meters)
    e2 = 1 - (b**2 / a**2)  # 离心率平方

    # 将角度转换为弧度
    lat_rad = math.radians(lat)
    lon_rad = math.radians(lon)

    # 计算N
    N = a / math.sqrt(1 - e2 * math.sin(lat_rad)**2)

    # 计算X, Y, Z
    X = (N + alt) * math.cos(lat_rad) * math.cos(lon_rad)
    Y = (N + alt) * math.cos(lat_rad) * math.sin(lon_rad)
    Z = ((1 - e2) * N + alt) * math.sin(lat_rad)

    return X, Y, Z

# 示例
lat = 52.2296756  # 纬度
lon = 21.0122287  # 经度
alt = 100  # 高度 (meters)

x, y, z = lat_lon_to_ecef(lat, lon, alt)
print(f"ECEF坐标: X={x}, Y={y}, Z={z}")

4. 结果解释

X, Y, Z 表示点在地心坐标系中的位置。
在地心坐标系中，坐标的单位通常为米 (meters)。

5. 应用场景

地图渲染：将经纬度转换为地心坐标系，用于三维地球模型或地图渲染。
卫星导航：将卫星的经纬度位置转换为地心坐标系，用于定位和跟踪。

通过上述公式和代码，你可以将任何经纬度坐标转换为地心坐标系 (ECEF) 的三维坐标。

四、矩阵详细参数介绍

这个矩阵通常用于3D图形学中进行平移、旋转、缩放和投影变换。以下是该矩阵中每个字母的位置和意义的详细说明：

1. 矩阵形式

原矩阵格式为：

[ a, b, c, d ]
[ e, f, g, h ]
[ i, j, k, l ]
[ m, n, o, p ]

2. 每个字母的意义

a. 旋转与缩放部分（3x3部分）：

[a, b, c]：第一行描述的是X轴方向的旋转和缩放。
[e, f, g]：第二行描述的是Y轴方向的旋转和缩放。
[i, j, k]：第三行描述的是Z轴方向的旋转和缩放。

具体来说：

a, f, k：沿着X、Y、Z轴的缩放因子。

变大变小，比如把加载进来的模型缩小10倍，这三个字母全部乘 0.1 。剩下懂吧。

b, c, e, g, i, j：描述旋转的混合项，表示在X、Y、Z轴之间的旋转关系。

注意！！！！！进行旋转操作前一定要先把缩放因子先全部改为1，旋转完后再改回去！！！

在这里插入图片描述
下面是使用Python实现计算3D仿真变换矩阵的代码，可以沿X轴、Y轴或Z轴旋转一个给定角度，并输出对应的旋转矩阵。

import numpy as np

def rotation_matrix_x(theta):
    """返回绕X轴旋转theta角度的4x4变换矩阵"""
    return np.array([
        [1, 0, 0, 0],
        [0, np.cos(theta), -np.sin(theta), 0],
        [0, np.sin(theta), np.cos(theta), 0],
        [0, 0, 0, 1]
    ])

def rotation_matrix_y(theta):
    """返回绕Y轴旋转theta角度的4x4变换矩阵"""
    return np.array([
        [np.cos(theta), 0, np.sin(theta), 0],
        [0, 1, 0, 0],
        [-np.sin(theta), 0, np.cos(theta), 0],
        [0, 0, 0, 1]
    ])

def rotation_matrix_z(theta):
    """返回绕Z轴旋转theta角度的4x4变换矩阵"""
    return np.array([
        [np.cos(theta), -np.sin(theta), 0, 0],
        [np.sin(theta), np.cos(theta), 0, 0],
        [0, 0, 1, 0],
        [0, 0, 0, 1]
    ])

# 示例：旋转45度（π/4弧度）
theta = np.pi / 4

# 计算沿X轴、Y轴、Z轴旋转的矩阵
R_x = rotation_matrix_x(theta)
R_y = rotation_matrix_y(theta)
R_z = rotation_matrix_z(theta)

print("Rotation matrix around X axis:\n", R_x)
print("Rotation matrix around Y axis:\n", R_y)
print("Rotation matrix around Z axis:\n", R_z)

说明

theta 是旋转角度，以弧度为单位。如果你有角度，可以使用 np.radians(angle_in_degrees) 来转换为弧度。
rotation_matrix_x, rotation_matrix_y, 和 rotation_matrix_z 函数分别计算绕X轴、Y轴、Z轴旋转的4x4变换矩阵。
输出结果是对应轴旋转后的4x4矩阵。

运行这个代码后，你会得到沿各轴旋转45度的变换矩阵。可以根据需要调整 theta 来得到不同的旋转矩阵。