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【数论 状态机dp】2572. 无平方子集计数

article 2024/9/25 23:19:43

本文涉及知识点

C++动态规划
数论 质数、最大公约数、菲蜀定理

LeetCode 2572. 无平方子集计数

给你一个正整数数组 nums 。
如果数组 nums 的子集中的元素乘积是一个 无平方因子数 ，则认为该子集是一个 无平方 子集。
无平方因子数 是无法被除 1 之外任何平方数整除的数字。
返回数组 nums 中 无平方 且 非空 的子集数目。因为答案可能很大，返回对 109 + 7 取余的结果。
nums 的 非空子集 是可以由删除 nums 中一些元素（可以不删除，但不能全部删除）得到的一个数组。如果构成两个子集时选择删除的下标不同，则认为这两个子集不同。
示例 1：
输入：nums = [3,4,4,5]
输出：3
解释：示例中有 3 个无平方子集：

  • 由第 0 个元素 [3] 组成的子集。其元素的乘积是 3 ，这是一个无平方因子数。
  • 由第 3 个元素 [5] 组成的子集。其元素的乘积是 5 ，这是一个无平方因子数。
  • 由第 0 个和第 3 个元素 [3,5] 组成的子集。其元素的乘积是 15 ，这是一个无平方因子数。
    可以证明给定数组中不存在超过 3 个无平方子集。
    示例 2：
    输入：nums = [1]
    输出：1
    解释：示例中有 1 个无平方子集：
  • 由第 0 个元素 [1] 组成的子集。其元素的乘积是 1 ，这是一个无平方因子数。
    可以证明给定数组中不存在超过 1 个无平方子集。
    提示：
    1 <= nums.length <= 1000
    1 <= nums[i] <= 30

动态规划

预处理

v 记录[1,30]的质数。m = v.size()
cnt[i]统计i出现的次数 ,i$\in[0,30]
vMask[i]：记录i包括质因数的情况
invalid[i]：记录i的因数是否有平方数

动态规划的状态表示

dp‘[i][maks] 表示最大数<=i，且包括质数的状态为mask的数量。 (1 << j )& mask 表示乘积已经包括v[j]
i ∈ \in ∈[2,30] i==1最后做特殊处理。
pre = dp’[i] dp = dp’[i+1]
使用滚动数组，空间复杂度：O(2m)

动态规划的转移方程

每个前置状态都只有两种变化：选择不选择。
选择需要判断：n*p 是否是 v的某个元素的平方。判断方式：vMask[i]&p
单个状态转移方程的时间复杂度是：O(1)
总时间复杂度：O(30 × \times × 2m)

动态规划的初始值

pre[0]=1，其它全部为0

动态规划的填表顺序

i = 2 to 30
忽略invalid[i]

动态规划的返回值

sum = ∑ \sum ∑(pre)
sum 的任意状态都可以选择任意个1，也可以不选择。
如果只有1，除选择0个1外，可以任意选择1。故结果：
(sum+1) × \times × 2cnt[1]-1

代码

核心代码

class CUniqueFactorization
{
public:
	CUniqueFactorization(int iMax) {
		int iMaxSqrt = sqrt(iMax) + 2;
		m_vPrime = CreatePrime(iMaxSqrt);
	}
	void Factorization(int x) {
		m_a.clear();
		m_n.clear();
		for (const auto& iPre : m_vPrime) {
			int cnt = 0;
			while (0 == x % iPre) {
				cnt++;
				x /= iPre;
			}
			if (cnt > 0) {
				m_a.emplace_back(iPre);
				m_n.emplace_back(cnt);
			}
		}
		if (x > 1) {
			m_a.emplace_back(x);
			m_n.emplace_back(1);
		}
	}
	vector<int> m_a, m_n;
	vector<int> CreatePrimeOld(int iMax)
	{
		vector<int> vNo(iMax + 1);
		vector<int> vPrime;
		for (int i = 2; i <= iMax; i++)
		{
			if (!vNo[i])
			{
				vPrime.emplace_back(i);
			}
			for (const auto& n : vPrime)
			{
				if (n * i > iMax)
				{
					break;
				}
				vNo[n * i] = true;
			}
		}
		return vPrime;
	}
	static vector<int> CreatePrime(int iMax)
	{
		vector<bool> isPrime(iMax + 1, true);
		vector<int> vPrime;
		for (int i = 2; i <= iMax; i++)
		{
			if (isPrime[i])
			{
				vPrime.emplace_back(i);
			}
			for (const auto& n : vPrime)
			{
				if (n * i > iMax) { break; }
				isPrime[n * i] = false;
				if (0 == i % n) { break; }
			}
		}
		return vPrime;
	}
	vector<int> m_vPrime;
};

template<int MOD = 1000000007>
class C1097Int
{
public:
	C1097Int(long long llData = 0) :m_iData(llData% MOD)
	{

	}
	C1097Int  operator+(const C1097Int& o)const
	{
		return C1097Int(((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD);
	}
	C1097Int& operator+=(const C1097Int& o)
	{
		m_iData = ((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD;
		return *this;
	}
	C1097Int& operator-=(const C1097Int& o)
	{
		m_iData = (m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD;
		return *this;
	}
	C1097Int  operator-(const C1097Int& o)
	{
		return C1097Int((m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD);
	}
	C1097Int  operator*(const C1097Int& o)const
	{
		return((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;
	}
	C1097Int& operator*=(const C1097Int& o)
	{
		m_iData = ((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;
		return *this;
	}
	C1097Int  operator/(const C1097Int& o)const
	{
		return *this * o.PowNegative1();
	}
	C1097Int& operator/=(const C1097Int& o)
	{
		*this /= o.PowNegative1();
		return *this;
	}
	bool operator==(const C1097Int& o)const
	{
		return m_iData == o.m_iData;
	}
	bool operator<(const C1097Int& o)const
	{
		return m_iData < o.m_iData;
	}
	C1097Int pow(long long n)const
	{
		C1097Int iRet = 1, iCur = *this;
		while (n)
		{
			if (n & 1)
			{
				iRet *= iCur;
			}
			iCur *= iCur;
			n >>= 1;
		}
		return iRet;
	}
	C1097Int PowNegative1()const
	{
		return pow(MOD - 2);
	}
	int ToInt()const
	{
		return m_iData;
	}
private:
	int m_iData = 0;;
};class Solution {
public:
	int squareFreeSubsets(vector<int>& nums) {
		auto v = CUniqueFactorization::CreatePrime(30);
		int cnt[31] = { 0 };
		for (const auto& n : nums) {
			cnt[n]++;
		}
		int amask[31] = { 0 };
		bool invalid[31] = { false };
		for (int i = 2; i <= 30; i++) {
			for (int j = 0; j < v.size(); j++) {
				if (0 != i % v[j]) { continue; }
				amask[i] |= (1 << j);
				if (0 == i % (v[j] * v[j])) {
					invalid[i] = true;
				}
			}
		}
		vector<C1097Int<>> pre(1 << v.size());
		pre[0] = 1;
		for (int i = 2; i <= 30; i++) {
			if (invalid[i]) { continue; }
			vector<C1097Int<>> dp = pre;
			for (int p = 0; p < pre.size(); p++) {
				if (p & amask[i]) { continue; }
				dp[p | amask[i]] += pre[p] * cnt[i];
			}
			pre.swap(dp);
		}
		C1097Int<> sum = accumulate(pre.begin()+1, pre.end(), C1097Int<>());
		C1097Int<> ret = (sum + 1) * C1097Int<>(2).pow(cnt[1]) - 1;
		return ret.ToInt();
	}
};

单元测试

class Solution {
public:
	int squareFreeSubsets(vector<int>& nums) {
		auto v = CUniqueFactorization::CreatePrime(30);
		int cnt[31] = { 0 };
		for (const auto& n : nums) {
			cnt[n]++;
		}
		int amask[31] = { 0 };
		bool invalid[31] = { false };
		for (int i = 2; i <= 30; i++) {
			for (int j = 0; j < v.size(); j++) {
				if (0 != i % v[j]) { continue; }
				amask[i] |= (1 << j);
				if (0 == i % (v[j] * v[j])) {
					invalid[i] = true;
				}
			}
		}
		vector<C1097Int<>> pre(1 << v.size());
		pre[0] = 1;
		for (int i = 2; i <= 30; i++) {
			if (invalid[i]) { continue; }
			vector<C1097Int<>> dp = pre;
			for (int p = 0; p < pre.size(); p++) {
				if (p & amask[i]) { continue; }
				dp[p | amask[i]] += pre[p] * cnt[i];
			}
			pre.swap(dp);
		}
		C1097Int<> sum = accumulate(pre.begin()+1, pre.end(), C1097Int<>());
		C1097Int<> ret = (sum + 1) * C1097Int<>(2).pow(cnt[1]) - 1;
		return ret.ToInt();
	}
};


template<class T1, class T2>
void AssertEx(const T1& t1, const T2& t2)
{
	Assert::AreEqual(t1, t2);
}
void AssertEx( double t1,  double t2)
{
	auto str = std::to_wstring(t1) + std::wstring(1,32) + std::to_wstring(t2);
	Assert::IsTrue(abs(t1 - t2) < 1e-5,str.c_str() );
}

template<class T>
void AssertEx(const vector<T>& v1, const vector<T>& v2)
{
	Assert::AreEqual(v1.size(), v2.size());
	for (int i = 0; i < v1.size(); i++)
	{
		Assert::AreEqual(v1[i], v2[i]);
	}
}

template<class T>
void AssertV2(vector<vector<T>> vv1, vector<vector<T>> vv2)
{
	sort(vv1.begin(), vv1.end());
	sort(vv2.begin(), vv2.end());
	Assert::AreEqual(vv1.size(), vv2.size());
	for (int i = 0; i < vv1.size(); i++)
	{
		AssertEx(vv1[i], vv2[i]);
	}
}

namespace UnitTest
{
	vector<int> nums;
	TEST_CLASS(UnitTest)
	{
	public:
		TEST_METHOD(TestMethod00)
		{
			nums = { 3, 4, 4, 5 };
			auto res = Solution().squareFreeSubsets(nums);
			AssertEx(3, res);
		}
		TEST_METHOD(TestMethod01)
		{
			nums = { 1 };
			auto res = Solution().squareFreeSubsets(nums);
			AssertEx(1, res);
		}
	};
}

扩展阅读

视频课程

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https://edu.csdn.net/course/detail/38771

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https://edu.csdn.net/lecturer/6176

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测试环境

操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
如无特殊说明，本算法用**C++**实现。


http://www.kler.cn/news/288672.html

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