决策树（Decison Tree）—有监督学习方法、概率模型、生成模型、非线性模型、非参数化模型、批量学习

定义

ID3算法
输入：训练数据集（T= { ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) , ⋯   , ( x N , y N ) } \left\{(x_1,y_1),(x_2,y_2),\cdots,(x_N,y_N)\right\} {(x1​,y1​),(x2​,y2​),⋯,(xN​,yN​)}），特征集A阀值$\epsilon$

输出：决策树T

(1)若D中所有实例属于同一类$C_k$,则T为单节点树，并将$C_k$作为该节点的类标记，返回T；

(2)若A=$\varnothing$，则T为单节点树，并将D中实例数最大的类$C_k$作为该节点的类标记，返回T；

(3)否则，需要计算A中各特征对D的信息增益，选择信息增益最大的特征$A_g$；

(4)如果$A_g$的信息增益小于阀值$\epsilon$，则置T为单节点树，并将D中实例数最大的类$C_k$作为该节点的类标记，返回T；

(5)否则，对$A_g$的每一可能值$a_i$,依$A_g=a_i$将D分割为若干非空子集$D_i$,将$D_i$中实例最大的类作为标记，构建子节点，由节点及其子节点构成树T，返回T；

(6)对第i个字节点，以$D_i$为训练集，以$A-A_g$为特征集，递归地调用步骤(1)~(5),得到子树$T_i$,返回$T_i$

输入空间

T= { ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) , … , ( x N , y N ) } \left\{(x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots,(x_N,y_N)\right\} {(x1​,y1​),(x2​,y2​),…,(xN​,yN​)}

import numpy as np

def loadData(fileName,lines=60000):
    '''
    加载文件
    :param fileName:要加载的文件路径 下载地址：https://download.csdn.net/download/nanxiaotao/89720991）
    :return: 数据集和标签集
    '''
    #存放数据及标记
    dataArr = []; labelArr = []
    #读取文件
    fr = open(fileName)
    #遍历文件中的每一行
    for line in fr.readlines():
        curLine = line.strip().split(',')
        dataArr.append([int(int(num) > 128) for num in curLine[1:]])
        labelArr.append(int(curLine[0]))
    #返回数据集和标记
    return dataArr, labelArr

# 获取训练集
trainDataList, trainLabelList = loadData('../Mnist/mnist_train.csv')

np.shape(trainDataList)

Epsilon = 0.1

特征空间（Feature Space）

trainDataList[0][0:784]

统计学习方法

模型

决策树$T$

策略

$max(g(D,A))$

算法

$H(D)=-{\sum }_{k=1}^K\frac{\left|C_k\right|}{\left|D\right|}lo{g}_2\frac{\left|C_k\right|}{\left|D\right|}$

def calc_H_D(trainLabelArr):
    '''
    计算数据集D的经验熵
    :param trainLabelArr:当前数据集的标签集
    :return: 经验熵
    '''
    #初始化为0
    H_D = 0
    trainLabelSet = set([label for label in trainLabelArr])
    #遍历每一个出现过的标签
    for i in trainLabelSet:
        p = trainLabelArr[trainLabelArr == i].size / trainLabelArr.size
        #对经验熵的每一项累加求和
        H_D += -1 * p * np.log2(p)
    #返回经验熵
    return H_D

$H(D|A)={\sum }_{i=1}^n\frac{\left|D_i\right|}{\left|D\right|}H(D_i)$

def calcH_D_A(trainDataArr_DevFeature, trainLabelArr):
    '''
    计算经验条件熵
    :param trainDataArr_DevFeature:切割后只有feature那列数据的数组
    :param trainLabelArr: 标签集数组
    :return: 经验条件熵
    '''
    #初始为0
    H_D_A = 0
    #在featue那列放入集合中，是为了根据集合中的数目知道该feature目前可取值数目是多少
    trainDataSet = set([label for label in trainDataArr_DevFeature])

    #对于每一个特征取值遍历计算条件经验熵的每一项
    for i in trainDataSet:
        #计算H(D|A)
        #trainDataArr_DevFeature[trainDataArr_DevFeature == i].size / trainDataArr_DevFeature.size:|Di| / |D|
        #calc_H_D(trainLabelArr[trainDataArr_DevFeature == i]):H(Di)
        H_D_A += trainDataArr_DevFeature[trainDataArr_DevFeature == i].size / trainDataArr_DevFeature.size \
                * calc_H_D(trainLabelArr[trainDataArr_DevFeature == i])
    #返回得出的条件经验熵
    return H_D_A

$g(D,A)=H(D)-H(D|A)$

$max(g(D,A))$

def majorClass(labelArr):
    '''
    找到当前标签集中占数目最大的标签
    :param labelArr: 标签集
    :return: 最大的标签
    '''
    #建立字典，用于不同类别的标签技术
    classDict = {}
    #遍历所有标签
    for i in range(len(labelArr)):
        if labelArr[i] in classDict.keys():
            # 若在字典中存在该标签，则直接加1
            classDict[labelArr[i]] += 1
        else:
            #若无该标签，设初值为1，表示出现了1次了
            classDict[labelArr[i]] = 1
    #对字典依据值进行降序排序
    classSort = sorted(classDict.items(), key=lambda x: x[1], reverse=True)
    #返回最大一项的标签，即占数目最多的标签
    return classSort[0][0]

def getSubDataArr(trainDataArr, trainLabelArr, A, a):
    '''
    更新数据集和标签集
    :param trainDataArr:要更新的数据集
    :param trainLabelArr: 要更新的标签集
    :param A: 要去除的特征索引
    :param a: 当data[A]== a时，说明该行样本时要保留的
    :return: 新的数据集和标签集
    '''
    #返回的数据集
    retDataArr = []
    #返回的标签集
    retLabelArr = []
    #对当前数据的每一个样本进行遍历
    for i in range(len(trainDataArr)):
        #如果当前样本的特征为指定特征值a
        if trainDataArr[i][A] == a:
            #那么将该样本的第A个特征切割掉，放入返回的数据集中
            retDataArr.append(trainDataArr[i][0:A] + trainDataArr[i][A+1:])
            #将该样本的标签放入返回标签集中
            retLabelArr.append(trainLabelArr[i])
    #返回新的数据集和标签集
    return retDataArr, retLabelArr

def calcBestFeature(trainDataList, trainLabelList):
    '''
    计算信息增益最大的特征
    :param train_dataSet: 数据集
    :return: 信息增益最大的特征及最大信息增益值
    '''
    #将数据集和标签集转换为数组形式
    trainDataArr = np.array(trainDataList)
    trainLabelArr = np.array(trainLabelList)

    #获取当前特征数目，也就是数据集的横轴大小
    featureNum = trainDataArr.shape[1]

    #初始化最大信息增益
    maxG_D_A = -1
    #初始化最大信息增益的特征
    maxFeature = -1
    
    #1.计算数据集D的经验熵H(D)
    H_D = calc_H_D(trainLabelArr)
    #对每一个特征进行遍历计算
    for feature in range(featureNum):
        trainDataArr_DevideByFeature = np.array(trainDataArr[:, feature].flat)
        #计算信息增益
        G_D_A = H_D - calcH_D_A(trainDataArr_DevideByFeature, trainLabelArr)
        #不断更新最大的信息增益以及对应的feature
        if G_D_A > maxG_D_A:
            maxG_D_A = G_D_A
            maxFeature = feature
    return maxFeature, maxG_D_A

创建决策树$T$

def createTree(*dataSet):
    '''
    递归创建决策树
    :param dataSet
    :return:新的子节点或该叶子节点的值
    '''
    trainDataList = dataSet[0][0]
    trainLabelList = dataSet[0][1]

    classDict = {i for i in trainLabelList}

    if len(classDict) == 1:
        return trainLabelList[0]

    if len(trainDataList[0]) == 0:
        #返回当前标签集中占数目最大的标签
        return majorClass(trainLabelList)

    Ag, EpsilonGet = calcBestFeature(trainDataList, trainLabelList)

    #如果Ag的信息增益比小于阈值Epsilon，则置T为单节点树，并将D中实例数最大的类Ck
    #作为该节点的类，返回T
    if EpsilonGet < Epsilon:
        return majorClass(trainLabelList)

    #否则，对Ag的每一可能值ai，依Ag=ai将D分割为若干非空子集Di，将Di中实例数最大的
    # 类作为标记，构建子节点，由节点及其子节点构成树T，返回T
    treeDict = {Ag:{}}
    #特征值为0时，进入0分支
    #getSubDataArr(trainDataList, trainLabelList, Ag, 0)：在当前数据集中切割当前feature，返回新的数据集和标签集
    treeDict[Ag][0] = createTree(getSubDataArr(trainDataList, trainLabelList, Ag, 0))
    treeDict[Ag][1] = createTree(getSubDataArr(trainDataList, trainLabelList, Ag, 1))

    return treeDict

# 获取测试集
testDataList, testLabelList = loadData('../Mnist/mnist_test.csv')

#创建决策树
tree = createTree((trainDataList, trainLabelList))
print('tree is:', tree)

假设空间（Hypothesis Space）

{ f ∣ f ( x ) = m a x ( g ( D , A ) ) } \left\{f|f(x) = max(g(D,A)) \right\} {f∣f(x)=max(g(D,A))}

输出空间

$\mathtt{y}$ = { c 1 , c 2 , ⋯   , c k } = \{c_1,c_2,\cdots,c_k \} ={c1​,c2​,⋯,ck​}

模型评估

训练误差（Training Error）

testDataList, testLabelList = loadData('../Mnist/mnist_test.csv')

np.shape(testDataList)

def predict(testDataList, tree):
    '''
    预测标签
    :param testDataList:样本
    :param tree: 决策树
    :return: 预测结果
    '''

    while True:
        (key, value), = tree.items()
        #如果当前的value是字典，说明还需要遍历下去
        if type(tree[key]).__name__ == 'dict':
            dataVal = testDataList[key]
            del testDataList[key]
            tree = value[dataVal]
            if type(tree).__name__ == 'int':
                #返回该节点值，也就是分类值
                return tree
        else:
            #如果当前value不是字典，那就返回分类值
            return value

def model_test(testDataList, testLabelList, tree):
    '''
    测试准确率
    :param testDataList:待测试数据集
    :param testLabelList: 待测试标签集
    :param tree: 训练集生成的树
    :return: 准确率
    '''
    errorCnt = 0
    for i in range(len(testDataList)):
        if testLabelList[i] != predict(testDataList[i], tree):
            errorCnt += 1
    #返回准确率
    return 1 - errorCnt / len(testDataList)

accur = model_test(testDataList, testLabelList, tree)
print('the accur is:', accur)

测试误差（Test Error）

模型选择

过拟合

正则化

泛化能力