[数据结构]算法复杂度详解

一、引言

1、想象数据结构与算法的奇妙世界

想象一下，数据结构就像书架，让数据变得有序。算法则是聪明的管理员，能快速找到你需要的数据。简单来说，算法就是帮我们把数据变成有用信息的聪明方法。

2、算法复杂度的轻松解读

算法复杂度就像问管理员找书快不快，需要多大地方放书。时间复杂度是找书速度，空间复杂度是书架大小。在编程中，这就像优化工作流程，让代码更快，占用资源更少。

3、数据结构与算法的温馨寄语

无论你是编程新手还是资深程序员，数据结构和算法都是你的好朋友。它们是计算机科学的基础，也是你写出高效、可靠代码的秘密武器。掌握它们，就像给编程加速，让代码更流畅、更高效。它们也是你展现才华的舞台，在笔试和面试中证明你的能力。

二、轻松掌握复杂度基础

1、时间复杂度：算法速度的衡量尺

时间复杂度，就是估算算法跑多快的一个工具。它不看具体时间，而是看算法里基本操作做了多少次，和数据量有啥关系。就像看厨师做菜，不看具体几分钟，而是看食材多少来估时间。

2、空间复杂度：算法占地的衡量尺

空间复杂度，是看算法运行时占多少地方的一个工具。它不算具体的bytes，而是算用了多少变量，就像看房间里放了多少箱子。主要关注的是算法临时申请的空间，编译时定好的栈空间不算。

3、常见的复杂度

• 常数复杂度 O(1)：算法执行时间恒定，不受数据量大小影响，效率极高。
• 对数复杂度 O(logN)：随着数据量翻倍，算法执行时间仅轻微增加，效率下降不明显。
• 线性复杂度 O(N)：算法执行时间与数据量成正比，数据量增大时，效率线性下降。
• 线性对数复杂度 O(NlogN)：效率略低于线性复杂度，但优于平方复杂度。数据量翻倍时，效率下降速度介于线性与平方之间。
• 平方复杂度 O(N^2)：算法执行时间随数据量平方增长，数据量翻倍时，效率显著下降。
• 立方复杂度 O(N^3)：比平方复杂度更慢，数据量翻倍时，效率下降速度更快。
• 指数复杂度 O(2^N)：数据量增加时，算法执行时间呈爆炸性增长，数据量翻倍导致效率急剧下降，对于大数据集几乎不可行。

三、复杂度的计算

1、时间复杂度计算

时间复杂度就是计算算法完成任务时，基本操作执行的次数如何随数据量变化。比如，遍历一个列表的算法，其基本操作（如访问元素）执行次数与列表长度N成正比，所以时间复杂度是O(N)。

2、空间复杂度计算

空间复杂度衡量的是算法运行时需要占用的存储空间大小。简单说，就是算法运行时 “用了多少地方” 。比如，使用一个固定大小的变量，空间复杂度为O(1)；若使用了一个与数据量N相等的数组，则空间复杂度为O(N)。

3、最好、最坏、平均复杂度

• 最好复杂度：算法在 “最顺利” 时的运行时间。
• 最坏复杂度：算法在 “最糟糕” 时的运行时间。
• 平均复杂度：算法在不同输入下运行时间的 “平均值” 。

四、C语言中的复杂度分析实例

1、求和函数

int sum(int arr[], int n) 
{
    int res = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) 
    {
        res += arr[i];
    }
    return res;
}

时间复杂度O(N)，因为循环n次，每次循环执行一次加法操作
空间复杂度O(1)，因为额外的变量只有res和i

2、冒泡排序

void bubbleSort(int arr[], int n) 
{
    for (int i = 0; i < n-1; i++) 
    {
        for (int j = 0; j < n-i-1; j++) 
        {
            if (arr[j] > arr[j+1]) 
            {
                //交换arr[j]和arr[j+1]
                int temp = arr[j];
                arr[j] = arr[j+1];
                arr[j+1] = temp;
            }
        }
    }
}

时间复杂度O(N^2)，因为有两层嵌套的循环，每层循环最多执行n次
空间复杂度O(1)，因为额外的变量只有i, j和temp

3、矩阵乘法

void matrixMultiplication(int A[][2], int B[][2], int C[][2], int n) 
{
    for (int i = 0; i < n; i++) 
    {
        for (int j = 0; j < n; j++) 
        {
            C[i][j] = 0;
            for (int k = 0; k < n; k++) 
            {
                C[i][j] += A[i][k] * B[k][j];
            }
        }
    }
}

时间复杂度O(N^3)，因为有三层嵌套的循环，每层循环最多执行n次
空间复杂度O(N^2)，因为需要存储结果矩阵C

4、递归计算斐波拉契数

long long Fib(size_t N)
{
    if(N < 3)
        return 1;
    
    return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}

时间复杂度O(2^N)，画递归栈帧的二叉树图理解
空间复杂度O(N)，画递归栈帧的二叉树图理解

注意：

• 空间是函数进入开辟，函数退出销毁的（所以不是开辟过多少空间，空间复杂度就是多少）
• 时间是连续的，函数栈帧的创建和销毁都需要消耗时间（因为这里返回两个函数的返回相加，所以是二叉树）

五、扩展阅读

• 学好算法对一个程序员来说是必须的吗？如果是，至少应该学到哪种程度？
• 学数据结构和算法一定要多刷题，多练习
• 维基百科 - 数据结构
• 维基百科 - 算法