深度学习入门- 梯度（Gradient）(三)

一. 手算梯度

1.计算下列函数的梯度，并写明过程。

       理论依据是前面两文学习过的：

       链式法则：复合函数的导数可以用构成复合函数的各个函数的导数的乘积表示。

       偏导数是多元函数时：将某一个变量定为目标变量，并将其他变量固定为某个值。

       根据上述理论，我们先看下手写数学计算过程：

• step1：求偏导数

     F(x1,x2)对x1的偏导数为:

      F(x1,x2)对x2的偏导数为:

• step2：在点（2，3）处求值

     将x1=2,x2=3带入上式：

• step3:形成梯度向量

      该函数在点(2,3)处的梯度向量为：

故：以上二元函数在点(2,3)处的梯度向量为(108,144)。

二.绘制梯度3D图

      从不同的视角来看梯度：

      view(2) 设置默认二维视图 ：

       view(3) 设置默认三维视图：

       附上matlab脚本：

[X1, X2] = meshgrid(-5:0.1:5, -5:0.1:5);

F = (3*X1 + 4*X2).^2;

[GX, GY] = gradient(F);

figure;

surf(X1, X2, F);

hold on;

% 为了绘制梯度场箭头，我们需要遍历网格点

% 但由于梯度箭头可能会非常密集且难以看清，我们可以选择性地绘制一些箭头

step = 5; % 设置步长

for i = 1:step:size(X1,1)

    for j = 1:step:size(X1,2)

        % 提取当前网格点的坐标和梯度值

        x = X1(i,j);

        y = X2(i,j);

        z = F(i,j);

        ux = GX(i,j);

        uy = GY(i,j); 

        % 归一化梯度向量（可选步骤，用于控制箭头长度）

        norm_factor = sqrt(ux^2 + uy^2);

        if norm_factor ~= 0

            ux = ux / norm_factor;

            uy = uy / norm_factor;

        end

        % 设置箭头长度（可以根据需要调整）

        arrow_length = 0.5;

        % 绘制梯度箭头

        quiver3(x, y, z, arrow_length * ux, arrow_length * uy, 0, 'r', 'LineWidth', 0.5);

    end

end

xlabel('x1');

ylabel('x2');

zlabel('f(x1, x2)');

title('3D Plot of f(x1, x2) = (3x1 + 4x2)^2 and its Gradient Field');

grid on;

axis tight; 

view(3); % 设置视角

hold off;

本文仅为个人学习使用所写。