等价和划分
例子：学生分组
假设我们有一个班级，班级里有10名学生，我们想要根据他们的年龄来分组。我们可以定义一个关系 ( R ) 在学生集合 ( A ) 上，其中 ( A = {s_1, s_2, …, s_{10}} )，并且 ( s_i ) 和 ( s_j ) 之间有关系 ( R ) 当且仅当他们年龄相同。
- 自反性：每个学生都与自己年龄相同，所以 ( s_i R s_i ) 对所有 ( i ) 成立。
- 对称性：如果 ( s_i ) 和 ( s_j ) 年龄相同，那么 ( s_j ) 和 ( s_i ) 年龄也相同，所以 ( s_i R s_j ) 意味着 ( s_j R s_i )。
- 传递性：如果 ( s_i ) 和 ( s_j ) 年龄相同，且 ( s_j ) 和 ( s_k ) 年龄相同，那么 ( s_i ) 和 ( s_k ) 年龄也相同，所以 ( s_i R s_j ) 和 ( s_j R s_k ) 意味着 ( s_i R s_k )。
由于 ( R ) 满足自反性、对称性和传递性，它是一个等价关系。
等价类
对于每个学生 ( s_i )，我们可以找到所有与 ( s_i ) 年龄相同的学生，这些学生构成了 ( s_i ) 的等价类。例如，如果 ( s_1 ) 和 ( s_2 ) 都是10岁，那么 ( [s_1]_R = {s_1, s_2} )。
商集
所有等价类的集合就是商集 ( A/R )。在这个例子中，如果我们有5个不同的年龄，那么商集 ( A/R ) 将包含5个等价类，每个等价类对应一个年龄。
划分
现在，让我们考虑划分。如果我们将班级按照年龄分组，每个组就是一个划分块。例如，如果我们有以下年龄分布：
- 10岁：( {s_1, s_2} )
- 11岁：( {s_3, s_4, s_5} )
- 12岁：( {s_6, s_7} )
- 13岁：( {s_8} )
- 14岁：( {s_9, s_{10}} )
我们可以定义一个子集族 ( \pi = {{s_1, s_2}, {s_3, s_4, s_5}, {s_6, s_7}, {s_8}, {s_9, s_{10}}} )。
- 空集不在 ( \pi ) 中：显然，空集 ( \emptyset ) 不在我们的划分中。
- 任意两个元素不交：每个学生只属于一个年龄组，所以没有两个划分块有共同的学生。
- 所有元素的并集等于 ( A )：所有划分块的学生加起来就是班级里的所有学生。
等价关系与划分的对应
在这个例子中，每个划分块对应一个等价类，反之亦然。如果我们将每个划分块视为一个等价类，我们可以定义一个等价关系，其中两个学生有关系当且仅当他们在同一划分块中。这个等价关系将与我们之前根据年龄定义的等价关系 ( R ) 相同。
通过这个例子，我们可以看到等价关系和划分是如何一一对应的。等价关系定义了元素之间的分组方式，而划分则是这些分组的具体实现。