数论问题71一一兔子数列

公元13世纪，在意大利有一位天才的数学家名字叫斐波纳奇，他在一本《算盘之书》的著作里记载了这样一道数学题：有一对兔子，每一个月可以生下一对小兔子，而且假定小兔子在出生的第二个月便有生育能力，那么过一年后，问一共能有多少对兔子？假设每产一对必须是一雌兔一雄兔，并且所有的兔子都能进行相互交配，所生下来的兔子都能保证成活率。

究竟有多少对呢？我们不妨计算一下，一对兔子，在一个月后生出了一对，总数是两对。而在这两对当中，只有第一对兔子有生育能力，因而两个月后一共有三对兔子，三个月后第一第二对兔子都有生育能力，因此又新出生两对兔子，总共有五对兔子，这样依此类推，经过一年（十二个月）后，兔子总数为233对。

即兔子的对数依次为：

1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，研究一下这个数列，我们会惊奇地发现它有许多有趣的性质：从第三项起，每一项的数都是紧挨着它前面的两项的数字之和。即

3＝2＋1；5＝2＋3；8＝3＋5；……233＝89+144，

这个数列的发现对人类数学及自然科学的发展具有重大的意义，人们为了纪念大数学家斐波纳奇，因而把此数列命名为斐波纳奇数列。斐波纳奇数列在生活中有着广泛的运用。

斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列。

定义与公式

1)定义：斐波那契数列指的是这样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波那契数列以如下递推的方法定义：F(0)=0，F(1)=1, F(n)=F(n - 1)+F(n - 2)（n ≥ 2，n ∈ N*），即从第三项开始，每一项都等于前两项之和。

2)通项公式：

F(n)={[(1+√5)/2]^n-[(1-√5)/2]^n}/√5。

 3)相关性质

①黄金分割比：随着数列项数的增加，相邻两项的比值越来越接近黄金分割比(1+√5)/2=1.618…。

②求和公式：前n项和S{n}=F(n + 2)-1。

③平方关系：F(n)^{2}=F(n - 1)×F(n + 1)+(-1)^{n - 1}。

4)应用领域

 ①自然界：许多植物的生长规律符合斐波那契数列，如向日葵花盘上的种子排列、菠萝的鳞片排列等，这样的排列方式能使植物在生长过程中更好地利用空间和阳光。

 ②金融市场：斐波那契数列在金融市场分析中被广泛应用，如黄金分割比例0.618就是由斐波那契数列推导而来，分析师常用其来预测市场趋势、判断价格支撑位和阻力位等。

 ③计算机科学：在算法设计中，斐波那契数列可用于优化某些搜索和排序算法，如斐波那契查找算法。在数据结构中，也可以用斐波那契数列来分析一些树形结构的性质。(李扩继)