动态规划DP 背包问题 完全背包问题（题目分析+C++完整代码）

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完全背包问题

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AcWiing 3. 完全背包问题

题目描述

有 N种物品和一个容量是 V的背包，每种物品都有无限件可用。
第 i种物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。
接下来有 N行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i种物品的体积和价值。

输出格式
输出一个整数，表示最大价值。

数据范围
0<N,V≤1000
0<vi,wi≤1000

输入样例

4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

输出样例：

10

题目分析

完全背包：对于每个物品可以选0，1，2···个（无限件可用）。

闫氏DP分析法

$f[i,j]$ 表示从1~i 个物品中选择且总体积不超过 j 的选法中价值最大的那个。

对于第i个物品，
可以选0个 i，即在 0~i -1 个物品中选择，体积不超过j，即 $f[i-1,j]$。
可以选1个 i，同时在 0~i -1 个物品中选择，体积不超过 $j-v[i]$，即$f[i-1,j-v[i]]+w[i]$。
···
可以选k个 i，同时在 0~i -1 个物品中选择，体积不超过 $j-k\times v[i]$，即$f[i-1,j-k\times v[i]]+k\times w[i]$。

其中，k的值由背包总容量决定，要保证 $j\ge k\times v[i]$，
即 $k=\lfloor j/v[i]\rfloor$。

综上，
$f[i,j]$ 即为上述所有结果的最大值。
$f[i,j]=max(f[i-1,j],f[i-1,j-k\times v[i]]+k\times w[i])$

优化版

观察状态计算公式：
$f[i,j]=max(f[i-1,j],f[i-1,j-v]+w,f[i-1,j-2v]+2w,\cdot \cdot \cdot ,f[i-1,j-kv]+kw)$

$f[i,j-v]=max(f[i-1,j-v],f[i-1,j-2v]+w,f[i-1,j-3v]+2w,\cdot \cdot \cdot ,f[i-1,j-kv]+(k-1)w)$

对比可得：

可得，
$f[i,j]=max(f[i-1,j],f[i,j-v]+w]$

完整代码

朴素版

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N=1010;
int n,m;
int v[N],w[N];
int f[N][N];
int main(){
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>w[i];
    //遍历每个物品
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=0;j<=m;j++)
            //选k个第i个物品
            for(int k=0;k<=j/v[i];k++)
                f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-k*v[i]]+k*w[i]);
    cout<<f[n][m]<<endl;
    return 0;
}

优化版

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N=1010;
int n,m;
int w[N],v[N];
int f[N][N];
int main(){
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>w[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=0;j<=m;j++){
            f[i][j]=f[i-1][j];
            if(j>=v[i]) f[i][j]=max(f[i][j],f[i][j-v[i]]+w[i]);
        }
    cout<<f[n][m]<<endl;
    return 0;
}

空间优化一维

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N=1010;
int n,m;
int v[N],w[N];
int f[N];  //一维
int main(){
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>w[i];
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=v[i];j<=m;j++){
            f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
        }
    }
    cout<<f[m]<<endl;
    return 0;
}