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群体智能优化：粒子群算法（PSO）详解与实战

article 2025/2/21 9:26:36

一、引言：从鸟群行为到优化算法

1995年，社会心理学家James Kennedy和电气工程师Russell Eberhart通过观察鸟群觅食行为，提出了著名的粒子群优化算法（Particle Swarm Optimization, PSO）。这一算法仅用不到30年时间，便从理论探索发展为广泛应用于工程优化、金融预测、图像处理等领域的核心工具。本文将深入解析PSO的数学原理、实现方法及优化技巧，并提供完整Python代码实现。

二、算法核心原理

2.1 生物行为启发

- 群体协作：鸟群通过个体经验与群体信息共享找到最优食物源
- 位置-速度模型：每个粒子（鸟）通过调整飞行方向逐步逼近目标

2.2 算法三要素

要素	数学表示	物理意义
个体历史最优位置	$pbest_i$	粒子自身探索到的最佳位置
群体历史最优位置	$gbest$	整个种群目前找到的最优位置
速度惯性	$w \cdot v_i^t$	保持粒子原有运动趋势

三、算法数学描述

3.1 标准PSO公式
$cases$
$v_i^{t+1} = w \cdot v_i^t + c_1 r_1 (pbest_i - x_i^t) + c_2 r_2$ $(gbest - x_i^t) \\$
$x_i^{t+1} = x_i^t + v_i^{t+1}$

参数说明：
- $w$ ：惯性权重（典型值0.4-0.9）
- $c_1$ ：个体学习因子（通常1.5-2.0）
- $c_2$ ：社会学习因子（通常1.5-2.0）
- $r_1$ , $r_2$ ：[0,1]区间均匀分布的随机数

3.2 算法流程

四、Python实现（标准PSO）

4.1 求解函数极值问题

以最小化 $f(x) = x_1^2 + x_2^2$ 为例：


import numpy as np

class PSO:
    def __init__(self, n_particles=30, dim=2, w=0.8, c1=1.5, c2=1.5, max_iter=200):
        self.n_particles = n_particles  # 粒子数量
        self.dim = dim                  # 问题维度
        self.w = w                      # 惯性权重
        self.c1 = c1                    # 个体学习因子
        self.c2 = c2                    # 社会学习因子
        self.max_iter = max_iter        # 最大迭代次数
        
        # 初始化粒子位置和速度
        self.x = np.random.uniform(-5, 5, (n_particles, dim))
        self.v = np.random.uniform(-1, 1, (n_particles, dim))
        
        # 记录个体和全局最优
        self.pbest_x = self.x.copy()
        self.pbest_score = np.full(n_particles, np.inf)
        self.gbest_x = None
        self.gbest_score = np.inf
    
    def objective_func(self, x):
        return np.sum(x**2, axis=1)
    
    def optimize(self):
        for _ in range(self.max_iter):
            # 计算适应度
            current_score = self.objective_func(self.x)
            
            # 更新个体最优
            improved_idx = current_score < self.pbest_score
            self.pbest_x[improved_idx] = self.x[improved_idx]
            self.pbest_score[improved_idx] = current_score[improved_idx]
            
            # 更新全局最优
            if current_score.min() < self.gbest_score:
                self.gbest_score = current_score.min()
                self.gbest_x = self.x[current_score.argmin()].copy()
            
            # 生成随机数
            r1, r2 = np.random.rand(2)
            
            # 更新速度和位置
            self.v = self.w * self.v \
                   + self.c1 * r1 * (self.pbest_x - self.x) \
                   + self.c2 * r2 * (self.gbest_x - self.x)
            self.x += self.v
            
        return self.gbest_x, self.gbest_score

# 运行算法
pso = PSO()
best_x, best_score = pso.optimize()
print(f"最优解：x = {best_x}, f(x) = {best_score}")

五、算法改进策略

5.1 自适应参数调整

# 线性递减惯性权重
self.w = 0.9 - (0.5 * (t / self.max_iter))

5.2 多种群PSO

- 独立子种群并行搜索
- 定期交换最优粒子信息

5.3 混合算法

# PSO与遗传算法混合
if np.random.rand() < mutation_rate:
    self.x = self.x + mutation_strength * np.random.randn(*self.x.shape)

六、应用场景实例

6.1 神经网络超参数优化

def fitness_func(hyperparams):
    model = MLPClassifier(
        hidden_layer_sizes=(hyperparams[0], hyperparams[1]),
        learning_rate_init=hyperparams[2]
    )
    score = cross_val_score(model, X, y).mean()
    return -score  # 最小化负得分

6.2 物流路径规划

# 适应度函数计算路径总距离
def calculate_distance(path):
    total = 0
    for i in range(len(path)-1):
        total += distance_matrix[path[i]][path[i+1]]
    return total