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Python应用算法之贪心算法理解和实践

article 2025/2/22 18:47:01

一、什么是贪心算法？

贪心算法（Greedy Algorithm）是一种简单而高效的算法设计思想，其核心思想是：在每一步选择中，都采取当前状态下最优的选择（即“局部最优解”），希望通过一系列局部最优解最终达到全局最优解。虽然贪心算法并不总是能得到全局最优解，但在许多问题中，它能够快速找到近似最优解。

1. 贪心算法的优缺点

优点

高效性：通常时间复杂度较低，适合解决大规模问题。
简单性：实现简单，易于理解和应用。
实用性：在许多实际问题中（如调度、路径规划等），贪心算法能快速找到近似最优解。

缺点

局限性：贪心算法并不总是能得到全局最优解。
适用范围有限：需要满足贪心选择性质和最优子结构性质。

2. 贪心算法的适用场景

贪心算法适用于满足以下条件的问题：

贪心选择性质：可以通过局部最优选择逐步构造全局最优解。
最优子结构：问题的最优解可以通过子问题的最优解构造。
如果不满足上述条件，贪心算法可能无法得到正确结果。例如，在某些情况下，动态规划可能是更好的选择。

二、贪心算法经典问题与解法

1. 贪心算法的核心思想

贪心算法的特点可以总结为以下几点：
（1）局部最优选择
在每一步决策时，选择当前看起来最优的选项。
不考虑未来的后果，也不回溯之前的决策。
（2）无后效性
一旦做出某个选择，就不会再改变。
每一步的决策只依赖于当前状态，而不依赖于之前的状态。
（3）贪心选择性质
全局最优解可以通过一系列局部最优选择来构造。
（4）最优子结构性质
问题的最优解包含其子问题的最优解。

2. 经典贪心算法示例

2.1 活动选择问题

问题描述：
给定一组活动，每个活动有开始时间和结束时间，要求选择尽可能多的互不冲突的活动。
算法描述：
按活动的结束时间排序。
每次选择最早结束的活动，并排除与之冲突的活动。
代码实现：

def activity_selection(start, finish):
    # 按结束时间排序
    activities = sorted(zip(start, finish), key=lambda x: x[1])
    selected = []
    last_finish_time = -1

    for start_time, finish_time in activities:
        if start_time >= last_finish_time:  # 如果活动不冲突
            selected.append((start_time, finish_time))
            last_finish_time = finish_time

    return selected

# 调用函数
start_times = [1, 3, 0, 5, 8, 5]
finish_times = [2, 4, 6, 7, 9, 9]
print("Selected activities:", activity_selection(start_times, finish_times))

2.2 分数背包问题（Fractional Knapsack Problem）

问题描述：
给定一组物品，每个物品有重量和价值，要求在不超过背包容量的情况下，最大化总价值。允许将物品分割。
算法描述：
计算每个物品的单位价值（价值/重量）。
按单位价值从高到低排序。
尽量装入单位价值最高的物品，直到背包装满。
代码实现：

def fractional_knapsack(weights, values, capacity):
    # 计算单位价值并排序
    items = sorted(
        [(v / w, w, v) for v, w in zip(values, weights)],
        key=lambda x: x[0],
        reverse=True
    )
    total_value = 0

    for value_per_weight, weight, value in items:
        if capacity >= weight:
            total_value += value
            capacity -= weight
        else:
            total_value += value_per_weight * capacity
            break
    return total_value

# 调用函数
weights = [10, 20, 30]
values = [60, 100, 120]
capacity = 50
print("Maximum value:", fractional_knapsack(weights, values, capacity))

3. 贪心算法刷力扣题

3.1 无重叠区间（LeetCode原题435题）

问题描述
给定一个区间的集合 intervals，其中 intervals[i] = [start_i, end_i]，返回需要移除的最小区间数量，使得剩余区间互不重叠。
解题思路：
按区间的结束时间排序。
每次选择最早结束的区间，并移除与之重叠的区间。
代码实现：

def eraseOverlapIntervals(intervals):
    if not intervals:
        return 0
    intervals.sort(key=lambda x: x[1])  # 按结束时间排序
    count = 0
    end = intervals[0][1]
    for i in range(1, len(intervals)):
        if intervals[i][0] < end:  # 当前区间与前一个区间重叠
            count += 1
        else:
            end = intervals[i][1]  # 更新结束时间
    return count
# 调用函数
intervals = [[1, 2], [2, 3], [3, 4], [1, 3]]
print(eraseOverlapIntervals(intervals))  
# 输出: 1

3.2 跳跃游戏（LeetCode 原题55题）

问题描述：
给定一个非负整数数组 nums，你最初位于数组的第一个位置。数组中的每个元素代表你在该位置可以跳跃的最大长度。判断你是否能够到达最后一个位置。
解题思路：
维护一个变量 max_reach 表示当前能到达的最远位置。
遍历数组时，更新 max_reach，如果当前位置超过了 max_reach，则无法到达终点。
代码实现:

def canJump(nums):
    max_reach = 0
    for i, jump in enumerate(nums):
        if i > max_reach:  # 当前位置不可达
            return False
        max_reach = max(max_reach, i + jump)
    return max_reach >= len(nums) - 1

# 调用函数
nums = [2, 3, 1, 1, 4]
print(canJump(nums))  
# 输出: True

4. 优化方法

4.1 数据预处理

（1）排序
贪心算法通常依赖于某种顺序（如活动的结束时间、物品的单位价值等），因此对数据进行适当的排序是关键。
使用高效的排序算法（如快速排序或归并排序）可以减少预处理的时间开销。
（2）去重或过滤
在某些情况下，可以通过去重或过滤无效数据来减少计算量。

4.2 使用优先队列优化选择过程

当需要动态选择当前最优元素时，可以使用优先队列（如最小堆或最大堆）来加速选择过程。

4.3 并行化与分布式计算

对于独立的子问题，可以使用多线程或多进程并行处理。

4.4 近似算法优化

（1）放松约束条件
在某些情况下，可以通过放松约束条件来简化问题，从而使贪心算法更高效。
例如，在分数背包问题中，允许分割物品可以显著简化问题。
（2）局部搜索优化
在贪心算法的基础上，可以通过局部搜索（如交换相邻元素）进一步优化结果。
示例：任务调度问题
使用贪心算法生成初始调度方案后，通过交换任务顺序来减少总完成时间。