2023年 ZZU ACM 招新赛暨选拔赛题解
比赛题目链接
感谢wb学长贡献的 B、L题解
A. NANA与字符串—找规律
题目链接
注意题目中 字符串中只有a，b两个字符
因此只要找到左右两端点字符相同的子串，这个子串一定回文，这里不在证明
求长为偶数回文串数量，就等于求相同的两个字符，而下标奇偶性不同的数对数量，比如0， 1 两个下标都是‘a’，这是偶数回文
同理 求长度为奇数回文，等于求下标奇偶性相同的数对数量
求奇数时需要注意，因为奇偶性相同是同类，求数对数量即求组合数n*(n - 1)/ 2 最后加上每个单个的字符
偶数不需要除以2是因为奇偶性不同，不会重复
#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
#define int long long
signed main()
{
string s; cin >> s;
int a1 = 0, a2 = 0, b1 = 0, b2 = 0;
for(int i = 0; i < s.size(); i ++)
{
a1 += (s[i] == 'a' && (i & 1));
a2 += (s[i] == 'a' && !(i & 1));
b1 += (s[i] == 'b' && (i & 1));
b2 += (s[i] == 'b' && !(i & 1));
}
int res = a1 * a2 + b1 * b2;
cout << res << ' ';
res = (a1 - 1) * a1 / 2 + (a2 - 1) * a2 / 2 + (b1 - 1) * b1 / 2 + (b2 - 1) * b2 / 2;
cout << res + s.size() << '\n';
}
B. NANA学跳舞 — 字典树
题目链接
对于给定的下界 k k k，可以发现如下性质.
性质1
以 k = 8 k=8 k=8为例，一个二进制数的二进制位可以分为k的最高位(1000)前的和k的最高位后的.例如，16是最高位前的二进制位、4和8是最高位后的二进制位。
对于两组二进制数，可以证明，如果当前的二进制位数 u u u比k的最高位靠前，那么这两个二进制数在 u u u上的取值对答案不构成影响. 证明如下：
设其一组 A A A在 u u u的下一位上取0，另一组 B B B在 u u u的下一位上取1. 那么任意 a ∈ A , b ∈ B , a x o r b > = k . a \in A, b\in B, a \space xor \space b >= k. a∈A,b∈B,a xor b>=k. 同时，由于任两个元素的异或也要 > = k >=k >=k，这就要求 A A A组内两两异或也要符合要求. 实际上，答案的个数就是 A A A组内合法的个数+ B B B组内合法的个数.
小结1
实际上，上面的性质可以转化成如下做法.
维护一棵字典树，对于比k的最高位高的位数，它的答案等于:
左子树的答案+右子树的答案. [ 1 ] ^{[1]} [1]
这样问题就转化为，对于一棵任意位都比k的最高位低的字典树，如何维护它的答案，使得结果 > = k >=k >=k?
[ 1 ] [1] [1]如果某一棵子树没有答案，由于左右子树异或之后的答案也合法，此时如果这棵子树有儿子，就可以强行使这棵树的答案取1.
性质2
对于上述的一棵低位字典树，其对答案的贡献只能是0或2.
证明如下.
对于任意二元组，要使它们的答案大于 k k k，就一定要有k的最高位上的结果是1，也就是说，这两个数在二进制的那一位上一个是0、一个是1.
这样答案就不可能>=3. 因为这样就一定会有两个元素在k的最高位上取得相同的结果，异或值也就不可能 > = k >=k >=k.
如果找不到这样的元组，答案为0.
问题就转化为，对于给定树根的字典树，是否存在二元组的异或值 > = k >=k >=k?
小结2
这是一个比较熟悉的问题. 我们可以转化问题为，求异或的最大值是否比 k k k大. 利用字典树即可解决.
总之，对于字典树内的每个节点我们都访问了一次，最终的复杂度为 O ( n ∗ l o g ( 2 30 ) ) O(n*log(2^{30})) O(n∗log(230))
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
const int N = 3e5 + 5;
int n, m, tr[N * 30][2], idx;
void add(ll c) {
int root = 0;
for (int i = 29; i >= 0; i --) {
ll cur = ((c >> i) & 1);
if (!tr[root][cur])
tr[root][cur] = ++ idx;
root = tr[root][cur];
}
a[root] = c;
}
ll tot;
vector<int> res;
void dfs2(int u, int cur) {
if (!tr[cur][0] && !tr[cur][1]) {
int root = u; ll ans = 0;
for (auto c: res) {
ans = ans * 2;
if (tr[root][!c])
ans += 1, root = tr[root][!c];
else
root = tr[root][c];
}
tot = max(tot, ans);
return;
}
if (tr[cur][0]) {
res.push_back(0);
dfs2(u, tr[cur][0]);
res.pop_back();
}
if (tr[cur][1]) {
res.push_back(1);
dfs2(u, tr[cur][1]);
res.pop_back();
}
}
ll dfs(int u, int k) {
ll next = (1LL << (k - 1));
if (next > m) {
ll p1 = 0, p2 = 0;
if (tr[u][0])
p1 = dfs(tr[u][0], k - 1);
if (tr[u][1])
p2 = dfs(tr[u][1], k - 1);
if (tr[u][0] && tr[u][1])
return max(1LL, p1) + max(1LL, p2);
else
return p1 + p2;
} else {
tot = 0;
dfs2(u, u);
return (tot >= m)? 2: 0;
}
}
int main() {
cin >> n >> m;
while (n --) {
ll x; cin >> x;
add(x);
}
ll p = dfs(0, 30);
cout << (p == 0? -1: p);
}
C. NANA去上课 — 简单数学
需要记录上一步处在哪个位置
然后判断如果是同一侧移动距离就是abs（x1 - x2）
如果不同就是x1 + x2
#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
#define int long long
signed main()
{
int n; cin >> n;
char s, pres;
int x, prex;
cin >> pres >> prex;
int res = prex;
for(int i = 2; i <= n; i ++)
{
cin >> s >> x;
if(pres != s) res += x + prex;
else res += abs(prex - x);
pres = s, prex = x;
}
res += prex;
cout << res << '\n';
}
D. NANA在夜市 — bfs
倒着思考，从终点往周围扩展，判断能否到达，把能到达的点放入队列，接着扩展
这里判断时需要注意从能到达的点往外扩展时 方向是反着的，判断能否到达需要反着判断
#include <iostream>
#include <queue>
using namespace std;
const int N = 1010;
char g[N][N];
bool st[N][N];
int dx[] = {-1, 1, 0, 0};
int dy[] = {0, 0, 1, -1};
signed main()
{
int n, m; cin >> n >> m;
for(int i = 0; i < n; i ++) cin >> g[i];
int sx, sy;
// 找到终点位置
for(int i = 0; i < n; i ++)
for(int j = 0; j < m; j ++)
if(g[i][j] == 'O')
sx = i, sy = j;
queue<pair<int,int>> q;
q.push({sx, sy});
st[sx][sy] = true;
int res = 1;
while(q.size())
{
int x = q.front().first;
int y = q.front().second;
q.pop();
for(int i = 0; i < 4; i ++)
{
int ax = x + dx[i];
int ay = y + dy[i];
if(ax < 0 || ax >= n || ay < 0 || ay >= m || st[ax][ay]) continue;
if((i == 0 && g[ax][ay] == 'D') || (i == 1 && g[ax][ay] == 'U') || (i == 2 && g[ax][ay] == 'L') || (i == 3 && g[ax][ay] == 'R'))
{
q.push({ax, ay});
st[ax][ay] = true;
res ++;
}
}
}
cout << res << '\n';
}
E.
F. NANA 的排名 — 二分+排序
先按照每个人的最低分加入到总成绩，用两个数组记录，一个原始数组，一个按总成绩从大到小排序的数组
遍历每一个人，用二分在在已经排序的数组里找到比它的数的数量就是排名
这里不需要考虑原来加入的自己，因为按最高分加入一定比最低分加入高
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
struct Node
{
int l, r;
int sum;
};
bool cmp(Node a, Node b)
{
return a.sum > b.sum;
}
signed main()
{
int n; scanf("%d", &n);
vector<Node> vec, pre;
for(int i = 0, l, r, x, sum; i < n; i ++)
{
scanf("%d %d", &l, &r);
sum = 0;
for(int j = 0; j < 5; j ++)
{
scanf("%d", &x);
sum += x;
}
sum += l;
vec.push_back({l, r, sum});
pre.push_back({l, r, sum});
}
sort(vec.begin(), vec.end(), cmp);
vector<int> res;
for(int i = 0; i < n; i ++)
{
int sum = pre[i].sum + pre[i].r - pre[i].l;
int l = 0, r = n;
while(l < r)
{
int mid = l + r >> 1;
if(vec[mid].sum <= sum) r = mid;
else l = mid + 1;
}
cout << l + 1 << '\n';
}
}
G. NANA看天鹅舞会 — 贪心
最小的天鹅数黑白配对
剩下的相同2只配对
如果剩下的是奇数 减去c
#include <iostream>
using namespace std;
#define int long long
signed main()
{
int n, m, a, b, c;
cin >> n >> m >> a >> b >> c;
if(n > m) swap(n, m);
int res = n * a;
m -= n;
res += (m / 2) * b;
if(m & 1) res -= c;
cout << res << '\n';
}
H. NANA去集训 — 虚拟源点 + 堆优化的dijkstra
题目链接
这是一个很经典虚拟源点的模板题
需要将问题转化为单源最短路问题
因为最后还需要返回，因此路程距离直接乘2
对于每个答案，相当于求虚拟源点0 到点 i 的最短距离
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
using namespace std;
#define int long long
const int N = 200010;
vector<pair<int, int>> g[N];
int d[N];
bool vis[N];
signed main()
{
int n, m;
cin >> n >> m;
for(int i = 1, a, b, w; i <= m; i ++)
{
cin >> a >> b >> w;
g[a].push_back({b, w * 2});
g[b].push_back({a, w * 2});
}
for(int i = 1, x; i <= n; i ++)
{
cin >> x;
g[0].push_back({i, x});
}
priority_queue<pair<int,int>, vector<pair<int,int>>, greater<pair<int,int>>> q;
for(int i = 1; i <= n; i ++) d[i] = 1e18;
d[0] = 0;
q.push({0, 0});
while(q.size())
{
int u = q.top().second;
q.pop();
if(vis[u]) continue;
vis[u] = true;
for(auto [v, w] : g[u])
{
if(d[v] > d[u] + w)
{
d[v] = d[u] + w;
q.push({d[v], v});
}
}
}
for(int i = 1; i <= n; i ++)
cout << d[i] << " ";
}
I. NANA做胡辣汤 — 滑动窗口
先把处理好的全加起来
用hh记录长度为k窗口的左端点，遍历右端点每次求出长度为k的区间中的没处理好的调料数量
每次更新res
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 100010;
#define int long long
int a[N], b[N];
signed main()
{
int n, k; cin >> n >> k;
for(int i = 0; i < n; i ++) cin >> a[i];
for(int i = 0; i < n; i ++) cin >> b[i];
int hh = 0, sum = 0;
for(int i = 0; i < n; i ++)
if(b[i]) sum += a[i];
// 先处理第一个窗口
for(int i = 0; i < k; i ++)
if(!b[i]) sum += a[i];
int res = sum;
for(int i = k; i < n; i ++)
{
if(!b[i - k]) sum -= a[i - k];
if(!b[i]) sum += a[i];
res = max(sum, res);
}
cout << res << '\n';
}
J. NANA与她的朋友们 — 双指针
题目链接
k和ai很大，但是数只有1e5个，很容易想到离散化
因为每次影响的只有最大值和最小值，就可以直接看 最大值 和 最小值分别对应的数量哪个小
每次用k减去 那个小的，维护一个双指针，直到k小于0，或者双指针相遇
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <map>
using namespace std;
#define int long long
map<int,int> mp;
signed main()
{
int n, k, x; scanf("%lld %lld",&n, &k);
vector<int> vec;
for(int i = 0; i < n; i ++)
{
scanf("%lld", &x);
if(!mp.count(x)) vec.push_back(x);
mp[x] ++;
}
sort(vec.begin(), vec.end());
int hh = 0, tt = vec.size() - 1;
while(hh < tt)
{
int l = mp[vec[hh]];
int r = mp[vec[tt]];
if(l < r)
{
int num = vec[hh + 1] - vec[hh];
int cnt = l;
if(k >= cnt * num)
{
k -= cnt * num;
mp[vec[hh + 1]] += mp[vec[hh]];
hh ++;
}
else
{
int t = k / cnt;
k -= t * cnt;
int res = vec[tt] - vec[hh] - t;
cout << res << '\n';
return 0;
}
}
else
{
int num = vec[tt] - vec[tt - 1];
int cnt = r;
if(k >= cnt * num)
{
k -= cnt * num;
mp[vec[tt - 1]] += mp[vec[tt]];
tt --;
}
else
{
int t = k / cnt;
k -= t * cnt;
int res = vec[tt] - t - vec[hh];
cout << res << '\n';
return 0;
}
}
}
cout << 0 << '\n';
}
K. NANA在郑州 — 小模拟
#include <iostream>
using namespace std;
#define int long long
int val[] = {1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4};
signed main()
{
int n;cin >> n;
// kong ge
int res = n - 1;
while(n --)
{
string s; cin >> s;
for(int i = 0; i < s.size(); i ++) res += val[s[i] - 'a'];
}
cout << res << '\n';
}
L. NANA与梦中的洛阳 — dp
如果问题缩减到1e6，由于y是单调不减的，dp跑一遍就好
但是现在问题是1e9的，可以考虑离散化，对于每个机关(x, y)，维护y, y+1, y+2，即把这三项加入要离散化的序列中，随后跑一遍dp即可.
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
const int N = 2e6 + 5;
const int mod = 998244353;
int n, m, k;
int dp[N][4], f[N][4];
map<int, int> rev;
int main() {
//freopen("parkour3.in", "r", stdin);
ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0);
cin >> n >> m >> k;
vector<pair<int, int>> res;
rev[m] = 1, rev[1] = 1;
for (int i = 0; i < k; i ++) {
int u, v; cin >> u >> v;
res.push_back({u, v});
for (int j = v; j <= v + 2; j ++)
rev[j] = 1;
}
int cnt = 0;
for (auto [a, b]: rev) {
rev[a] = ++ cnt;
}
for (auto c: res) {
int a = c.first, b = c.second;
f[rev[b]][a] = true;
}
dp[1][1] = true;
int du = rev[m];
for (int i = 1; i <= du; i ++) {
for (int j = 1; j <= n; j ++) {
if (!f[i][j])
dp[i + 1][j] = (dp[i + 1][j] + dp[i][j]) % mod;
else {
dp[i + 1][max(1, j - 1)] = (dp[i + 1][max(1, j - 1)] + dp[i][j]) % mod;
dp[min(du, i + 2)][j] = (dp[min(du, i + 2)][j] + dp[i][j]) % mod;
dp[i + 1][min(n, j + 1)] = (dp[i + 1][min(n, j + 1)] + dp[i][j]) % mod;
}
}
}
for (int i = 1; i <= n; i ++)
cout << dp[du][i] << '\n';
return 0;
}
/*
all right,
but m8 tle?
*/