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【ShuQiHere】快速排序（Quick Sort）：揭开高效排序算法的神秘面纱

article 2024/9/23 22:37:59

【ShuQiHere】

引言

在计算机科学中，排序算法是我们日常编程不可或缺的一部分。无论是处理大量数据、优化搜索引擎，还是进行系统性能提升，排序算法都起到了至关重要的作用。在所有的排序算法中，快速排序（Quick Sort） 凭借其高效性和灵活的分治策略成为最受欢迎的排序算法之一。在这篇博客中，我们将深入探讨快速排序的原理、性能分析以及如何通过优化策略进一步提升其效率。

1. 什么是快速排序？（Quick Sort）🚀

快速排序是一种分治算法（Divide and Conquer Algorithm），它的基本思想是通过递归的方式将数组分解为更小的子数组，分别进行排序，最后组合为一个有序数组。快速排序的平均时间复杂度为 O(N log N)，而在最差情况下为 O(N²)。尽管最差情况存在，但它在实际应用中表现出色，成为许多现代系统中的默认排序算法。

快速排序的工作原理

选择枢轴（Pivot）：从数组中选择一个元素作为枢轴。
分区（Partition）：将数组分为两部分，左边的元素小于等于枢轴，右边的元素大于等于枢轴。
递归排序（Recursive Sorting）：递归地对左侧和右侧的子数组进行排序。

例子解析：

假设有一个数组 [8, 3, 7, 4, 9, 2, 6, 5]：

选择 5 作为枢轴，进行第一次分区，结果为 [3, 2, 4, 5, 9, 7, 6, 8]。
左侧子数组 [3, 2, 4] 和右侧子数组 [9, 7, 6, 8] 被递归排序。
最终得到有序数组 [2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]。

代码示例：

public class QuickSort {

    public static void quickSort(int[] A, int left, int right) {
        if (left >= right) return;
        int pivotIndex = partition(A, left, right);
        quickSort(A, left, pivotIndex - 1);
        quickSort(A, pivotIndex + 1, right);
    }

    private static int partition(int[] A, int left, int right) {
        int pivot = A[right];
        int i = left - 1;
        for (int j = left; j < right; j++) {
            if (A[j] <= pivot) {
                i++;
                swap(A, i, j);
            }
        }
        swap(A, i + 1, right);
        return i + 1;
    }

    private static void swap(int[] A, int i, int j) {
        int temp = A[i];
        A[i] = A[j];
        A[j] = temp;
    }
}

这个示例展示了快速排序的完整代码，包括核心的 partition 分区函数。

2. 快速排序的分治策略🧩

快速排序的核心是分治法（Divide and Conquer Method），其过程包括三个阶段：

分解（Divide）：选择枢轴，将数组分为两个子数组。
征服（Conquer）：递归地对两个子数组进行排序。
合并（Combine）：快速排序不需要显式的合并操作，因为在分解过程中，子数组已经完成排序。

这种分治策略让快速排序在处理大规模数据时非常高效，因为每次递归都会减少数组的处理规模，从而加快整体的排序速度。

3. 如何选择枢轴：四种策略🎯

枢轴的选择对快速排序的性能至关重要，不同的选择策略会影响分区的效果和递归的深度，进而影响算法的时间复杂度。

策略一：使用第一个元素作为枢轴

优点：实现简单。
缺点：如果输入数组已经排序或逆序，可能导致最差情况 O(N²)。

策略二：随机选择枢轴

优点：避免最差情况，通常是安全的选择。
缺点：生成随机数的开销较大。

策略三：使用中位数作为枢轴

优点：保证分区的平衡性，接近最佳情况。
缺点：找到中位数的计算代价较高。

策略四：三数取中法（Median of Three）

优点：通过比较数组中的第一个元素、最后一个元素和中间元素，选择中位数作为枢轴。保证了分区的平衡性，同时减少了计算复杂度。
缺点：稍有计算开销，但比找中位数要小。

三数取中法示例：

假设数组为 [8, 3, 7, 4, 9, 2, 6, 5]：

比较第一个元素 8，中间元素 6 和最后一个元素 5。
选择 6 作为枢轴，交换到倒数第二位，进行分区操作。

4. 分区策略（Partitioning）：快速排序的核心🔑

分区操作是快速排序的核心步骤，它将数组划分为两部分，一部分元素小于等于枢轴，另一部分元素大于等于枢轴。分区的正确性和效率决定了整个算法的性能。

分区步骤

交换枢轴与最后一个元素：将枢轴暂时移出分区范围。
双指针扫描：使用两个指针 i 和 j，从数组两端开始扫描，i 跳过小于枢轴的元素，j 跳过大于枢轴的元素。
交换元素：当 i 和 j 停止时，交换它们对应的元素。
恢复枢轴：当 i 和 j 相遇或交叉时，将枢轴放回正确位置。

代码示例：

private static int partition(int[] A, int left, int right) {
    int pivot = A[right];  // 选择最后一个元素作为枢轴
    int i = left - 1;
    for (int j = left; j < right; j++) {
        if (A[j] <= pivot) {
            i++;
            swap(A, i, j);
        }
    }
    swap(A, i + 1, right);  // 将枢轴放回正确位置
    return i + 1;
}

5. 小数组的处理：混合排序（Hybrid Sorting）🛠️

对于小规模数组，递归的开销可能会导致快速排序的性能下降。我们可以通过混合排序策略：当数组规模较小时，改用插入排序（Insertion Sort）来处理剩余元素，从而提高整体效率。

代码示例：结合插入排序

public static void quickSort(int[] A, int left, int right) {
    if (left >= right - 10) {  // 当子数组小于一定规模时，使用插入排序
        insertionSort(A, left, right);
        return;
    }
    int pivotIndex = partition(A, left, right);
    quickSort(A, left, pivotIndex - 1);
    quickSort(A, pivotIndex + 1, right);
}

private static void insertionSort(int[] A, int left, int right) {
    for (int i = left + 1; i <= right; i++) {
        int key = A[i];
        int j = i - 1;
        while (j >= left && A[j] > key) {
            A[j + 1] = A[j];
            j--;
        }
        A[j + 1] = key;
    }
}