【22-23 春学期】人工智能基础--AI作业6-误差反向传播

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1.梯度下降

 2.反向传播

3.计算图

4.使用Numpy编程实现例题

5.使用PyTorch的Backward（）编程实现例题

1.梯度下降

梯度下降是一种最小化目标函数的优化算法，在机器学习中经常使用。其基本思想是通过反复迭代来逐步调整模型参数，使目标函数的值不断减小，从而达到最小化目标函数的目的。

在每一次迭代中，梯度下降算法会计算目标函数关于当前参数的梯度，即目标函数在当前参数点处的斜率，然后朝着梯度下降的方向调整参数，使得目标函数值减小。如果梯度为正，则参数向负方向移动；如果梯度为负，则参数向正方向移动。重复这个过程，直到找到局部或全局最小值，或者达到预定的停止条件。

梯度下降算法有不同的变种，如批量梯度下降（Batch Gradient Descent）、随机梯度下降（Stochastic Gradient Descent）、小批量梯度下降（Mini-Batch Gradient Descent）等。这些变种算法主要区别在于如何计算梯度和如何更新参数。

 2.反向传播

反向传播（Backpropagation）是一种用于计算神经网络中每个参数对损失函数的导数的算法。它是训练神经网络中的权重和偏置的关键步骤。

在训练过程中，反向传播从输出层开始向前传播误差，通过链式法则计算每一层的误差贡献，然后再通过链式法则计算每个参数对误差的贡献，最终得到每个参数的梯度。这些梯度可以用于更新网络中的权重和偏置，使得损失函数得到最小化。

具体来说，反向传播的过程可以分为两个阶段：前向传播和反向传播。在前向传播阶段，神经网络将输入数据通过每一层的权重和偏置计算得到输出结果，然后计算与真实值的误差。在反向传播阶段，误差从输出层开始向前传播，通过链式法则计算每一层的误差贡献，最终计算得到每个参数的梯度。

通过反向传播算法，神经网络可以自动计算每个参数对损失函数的影响，并根据这些影响来更新参数，从而使神经网络逐步优化，提高预测精度。

3.计算图

计算图（Computational Graph）是一种图形化表示计算过程的方式。在机器学习中，计算图通常用于表示神经网络中的计算流程，从而方便进行求导和优化。

在计算图中，节点表示变量或操作，边表示数据流。计算图中的每个节点都对应一个数学运算，例如加法、乘法、卷积等。每个节点的输入和输出都是张量，可以是标量、向量、矩阵或高维张量。

计算图可以分为静态计算图和动态计算图两种类型。静态计算图在计算前需要预先定义好网络结构和参数，然后将整个计算流程编译为计算图，进行优化和求导。而动态计算图则是在运行时动态生成，每个计算步骤都可以根据需要重新构造计算图，可以更加灵活。

通过计算图，可以清晰地了解每个节点之间的依赖关系，从而更好地理解神经网络中的计算流程，方便进行求导和优化。同时，计算图还可以通过自动微分技术计算导数，为反向传播等算法提供基础支持。

4.使用Numpy编程实现例题

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
 
 
def sigmoid(z):
    a = 1 / (1 + np.exp(-z))
    return a
 
 
def forward_propagate(x1, x2, y1, y2, w1, w2, w3, w4, w5, w6, w7, w8): # 正向传播
    in_h1 = w1 * x1 + w3 * x2
    out_h1 = sigmoid(in_h1)
    in_h2 = w2 * x1 + w4 * x2
    out_h2 = sigmoid(in_h2)
 
    in_o1 = w5 * out_h1 + w7 * out_h2
    out_o1 = sigmoid(in_o1)
    in_o2 = w6 * out_h1 + w8 * out_h2
    out_o2 = sigmoid(in_o2)
 
    error = (1 / 2) * (out_o1 - y1) ** 2 + (1 / 2) * (out_o2 - y2) ** 2
 
    return out_o1, out_o2, out_h1, out_h2, error
 
 
def back_propagate(out_o1, out_o2, out_h1, out_h2):    # 反向传播
    d_o1 = out_o1 - y1
    d_o2 = out_o2 - y2
 
    d_w5 = d_o1 * out_o1 * (1 - out_o1) * out_h1
    d_w7 = d_o1 * out_o1 * (1 - out_o1) * out_h2
    d_w6 = d_o2 * out_o2 * (1 - out_o2) * out_h1
    d_w8 = d_o2 * out_o2 * (1 - out_o2) * out_h2
 
    d_w1 = (d_w5 + d_w6) * out_h1 * (1 - out_h1) * x1
    d_w3 = (d_w5 + d_w6) * out_h1 * (1 - out_h1) * x2
    d_w2 = (d_w7 + d_w8) * out_h2 * (1 - out_h2) * x1
    d_w4 = (d_w7 + d_w8) * out_h2 * (1 - out_h2) * x2
 
    return d_w1, d_w2, d_w3, d_w4, d_w5, d_w6, d_w7, d_w8
 
 
def update_w(step,w1, w2, w3, w4, w5, w6, w7, w8):    #梯度下降，更新权值
    w1 = w1 - step * d_w1
    w2 = w2 - step * d_w2
    w3 = w3 - step * d_w3
    w4 = w4 - step * d_w4
    w5 = w5 - step * d_w5
    w6 = w6 - step * d_w6
    w7 = w7 - step * d_w7
    w8 = w8 - step * d_w8
    return w1, w2, w3, w4, w5, w6, w7, w8
 
 
if __name__ == "__main__":
    w1, w2, w3, w4, w5, w6, w7, w8 = 0.2, -0.4, 0.5, 0.6, 0.1, -0.5, -0.3, 0.8 # 可以给随机值，为配合PPT，给的指定值
    x1, x2 = 0.5, 0.3   # 输入值
    y1, y2 = 0.23, -0.07 # 正数可以准确收敛；负数不行。why? 因为用sigmoid输出，y1, y2 在 （0,1）范围内。
    N = 10             # 迭代次数
    step = 10           # 步长
 
    print("输入值：x1, x2；",x1, x2, "输出值：y1, y2:", y1, y2)
    eli = []
    lli = []
    for i in range(N):
        print("=====第" + str(i) + "轮=====")
        # 正向传播
        out_o1, out_o2, out_h1, out_h2, error = forward_propagate(x1, x2, y1, y2, w1, w2, w3, w4, w5, w6, w7, w8)
        print("正向传播:", round(out_o1, 5), round(out_o2, 5))
        print("损失函数：", round(error, 2))
        # 反向传播
        d_w1, d_w2, d_w3, d_w4, d_w5, d_w6, d_w7, d_w8 = back_propagate(out_o1, out_o2, out_h1, out_h2)
        # 梯度下降，更新权值
        w1, w2, w3, w4, w5, w6, w7, w8 = update_w(step,w1, w2, w3, w4, w5, w6, w7, w8)
        eli.append(i)
        lli.append(error)
 
 
    plt.plot(eli, lli)
    plt.ylabel('Loss')
    plt.xlabel('w')
    plt.show()

5.使用PyTorch的Backward（）编程实现例题

​
import torch
# prepare dataset
# x,y是矩阵，3行1列 也就是说总共有3个数据，每个数据只有1个特征
x_data = torch.tensor([[1.0], [2.0], [3.0]])
y_data = torch.tensor([[2.0], [4.0], [6.0]])
 
#design model using class
"""
our model class should be inherit from nn.Module, which is base class for all neural network modules.
member methods __init__() and forward() have to be implemented
class nn.linear contain two member Tensors: weight and bias
class nn.Linear has implemented the magic method __call__(),which enable the instance of the class can
be called just like a function.Normally the forward() will be called 
"""
class LinearModel(torch.nn.Module):
    def __init__(self):
        super(LinearModel, self).__init__()
        # (1,1)是指输入x和输出y的特征维度，这里数据集中的x和y的特征都是1维的
        # 该线性层需要学习的参数是w和b  获取w/b的方式分别是~linear.weight/linear.bias
        self.linear = torch.nn.Linear(1, 1)
 
    def forward(self, x):
        y_pred = self.linear(x)
        return y_pred
 
model = LinearModel()
 
# construct loss and optimizer
# criterion = torch.nn.MSELoss(size_average = False)
criterion = torch.nn.MSELoss(reduction = 'sum')
optimizer = torch.optim.SGD(model.parameters(), lr = 0.01) # model.parameters()自动完成参数的初始化操作
 
# training cycle forward, backward, update
for epoch in range(100):
    y_pred = model(x_data) # forward:predict
    loss = criterion(y_pred, y_data) # forward: loss
    print(epoch, loss.item())
 
    optimizer.zero_grad() # the grad computer by .backward() will be accumulated. so before backward, remember set the grad to zero
    loss.backward() # backward: autograd，自动计算梯度
    optimizer.step() # update 参数，即更新w和b的值
 
print('w = ', model.linear.weight.item())
print('b = ', model.linear.bias.item())
 
x_test = torch.tensor([[4.0]])
y_test = model(x_test)
print('y_pred = ', y_test.data)


​