有理函数的不定积分

前置知识：直接积分法

有理函数的不定积分

设$p(x)$和$q(x)$为两个多项式，则形如$R(x)=\frac{p(x)}{q(x)}$的函数称为有理函数。如果$p(x)$的次数小于$q(x)$的次数，则$R(x)$为真分式，否则$R(x)$是假分式。

因为多项式除法可以将一个有理函数表示为一个多项式和一个真分式之和，所以求一个有理函数的不定积分实际上就是求多项式的不定积分和真分式的不定积分。相信大家对多项式的不定积分已有了解（不了解的先去学习一下），下面来讲讲怎么求真分式的不定积分。

首先，根据代数理论可知，任意一个真分式都可以分解为以下四种基本分式之和：

• $\frac{A}{x-a}$
• $\frac{A}{(x-a{)}^k}(k\ge 2)$
• $\frac{Ax+B}{(x+a{)}^2+b^2}$
• $\frac{Ax+B}{((x+a{)}^2+b^2{)}^k}(k\ge 2)$

也就是说，若$R(x)=\frac{p(x)}{q(x)}$是真分式，其中$p(x)$和$q(x)$没有相同的因式，且$q(x)$的最高次项的系数为$1$（如果不为$1$，可以通过分子和分母同时除以这个系数使得$q(x)$的最高次项的系数为$1$），则我们可以将分母分解为

$$q(x)=\prod _{i=1}^m(x-c_i{)}^{l_i}\cdot \prod _{j=1}^m[(x+a_j{)}^2+b_j^2{]}^{k_j}$$

那么$R(x)$可以分解为

$$\begin{gathered} R(x)=\sum _{i=1}^m[\frac{v_{i,1}}{x-c_i}+\frac{v_{i,2}}{(x-c_i{)}^2}+\cdots +\frac{v_{i,l_i}}{(x-c_i{)}^{l_i}}] \\ +\sum _{j=1}^n[\frac{A_{j,1}x+B_{j,1}}{(x+a_j{)}^2+b_j^2}+\frac{A_{j,2}x+B_{j,2}}{((x+a_j{)}^2+b_j^2{)}^2}+\cdots +\frac{A_{j,k_j}x+B_{j,k_j}}{((x+a_j{)}^2+b_j^2{)}^{k_j}}] \end{gathered}$$

所以，我们可以把求$R(x)$的不定积分转化为求上式各部分的不定积分的和。

四种基本分式的不定积分

第一类

$\int \frac{1}{x-a}dx=\ln |x-a|+C$

第二类

$\int \frac{1}{(x-a{)}^k}dx=-\frac{1}{k-1}\cdot \frac{1}{(x-a{)}^{k-1}}+C(k\ge 2)$

第三类和第四类

$\int \frac{x+a}{(x+a{)}^2+b^2}dx=\frac{1}{2}\ln |(x+a{)}^2+b^2|$

$\int \frac{x+a}{[(x+a{)}^2+b^2{]}^k}dx=-\frac{1}{2(k-1)[(x+a{)}^2+b^2{]}^{k-1}}+C(k\ge 2)$

记$I_k=\int [(x+a{)}^2+b^2{]}^{-k}dx$，则

$I_1=\frac{1}{b}\arctan (\frac{x+a}{b})+C$

$I_{k+1}=\frac{1}{2k{b}^2}[\frac{x+a}{((x+a{)}^2+b^2{)}^k}+(2k-1)I_k](k\ge 1)$

$I_k$的证明见这篇博客。

例题

题1： 计算$\int \frac{x+1}{x^2-5x+6}dx$
解：
\qquad 设被积函数有分解式$\frac{x+1}{x^2-5x+6}=\frac{A}{x-3}+\frac{B}{x-2}$

其中$A,B$是待定常数，将上式右端通分合并，分母相等，分子也应相等，得

$$x+1=(A+B)x-2A-3B$$

可列方程组

$$\{\begin{array}{l}A+B=1\\ -2A-3B=1\end{array}$$

解得

$$\{\begin{array}{l}A=4\\ B=-3\end{array}$$

由此可得

$$\frac{x+1}{x^2-5x+6}=\frac{4}{x-3}-\frac{3}{x-2}$$

所以

$$\int \frac{x+1}{x^2-5x+6}dx=\int (\frac{4}{x-3}-\frac{3}{x-2})dx=4\ln |x-3|-3\ln |x-2|+C$$

题2： 计算$\int \frac{2x^2+2x+13}{(x-2)(x^2+1{)}^2}dx$

解：
\qquad 设被积函数有分解式：

$$\frac{2x^2+2x+13}{(x-2)(x^2+1{)}^2}=\frac{A}{x-2}+\frac{Bx+C}{x^2+1}+\frac{Dx+E}{(x^2+1{)}^2}$$

其中$A,B,C,D,E$是待定常数，将上式右端通分合并，分母相等，分子也应相等，得

$$2x^2+2x+13=(A+B)x^4+(C-2B)x^3+(2A+B-2C+D)x^2+(C-2B+E-2D)x+(A-2C-2E)$$

可列方程组

$$\{\begin{array}{l}A+B=0\\ C-2B=0\\ 2A-B-3C+D=2\\ C-3B+E-2D=2\\ A-2C-2E=13\end{array}$$

解得

$$\{\begin{array}{l}A=1\\ B=-1\\ C=-2\\ D=-3\\ E=-4\end{array}$$

由此可得

$$\frac{2x^2+2x+13}{(x-2)(x^2+1{)}^2}=\frac{1}{x-2}-\frac{x+2}{x^2+1}-\frac{3x+4}{(x^2+1{)}^2}$$

所以

$\int \frac{2x^2+2x+13}{(x-2)(x^2+1{)}^2}dx$

$=\int \frac{1}{x-2}dx-\int \frac{x+2}{x^2+1}dx-\int \frac{3x+4}{(x^2+1{)}^2}dx$

$=\int \frac{1}{x-2}dx-\int \frac{x}{x^2+1}dx-2\int \frac{1}{x^2+1}dx-3\int \frac{x}{(x^2+1{)}^2}dx-4\int \frac{1}{(x^2+1)}dx$

$=\ln |x-2|-\frac{1}{2}\ln (x^2+1)-2\arctan x+\frac{3}{2(x^2+1)}-4\times \frac{1}{2}[\frac{x}{x^2+1}-\arctan x]$

$=\ln |x-2|-\frac{1}{2}\ln (x^2+1)+\frac{1}{2}\cdot \frac{3-4x}{x^2+1}-4\arctan x+C$

总结

对于求有理函数的不定积分，先将有理函数分为多项式和真分式两个部分。先对多项式求积分。对于真分式，先用待定系数法将其分为四种基本分式之和，再求各个基本分式的积分。最后求和即可。